Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E. Как можно доказать, что сумма площадей треугольников BEC и AED составляет половину площади параллелограмма?

Геометрия 8 класс Параллелограммы и их свойства параллелограмм ABCD точка E сумма площадей треугольников доказательство геометрия 8 класс Новый

Для того чтобы доказать, что сумма площадей треугольников BEC и AED составляет половину площади параллелограмма ABCD, мы можем воспользоваться свойствами параллелограммов и треугольников. Рассмотрим следующий алгоритм доказательства:

1. Площадь параллелограмма: Площадь параллелограмма ABCD можно выразить как S(ABCD) = S(ABE) + S(BCE) + S(CDE) + S(DAE), где S(ABE), S(BCE), S(CDE), S(DAE) — площади треугольников, образованных с точкой E.
2. Разделение параллелограмма: Мы можем провести диагонали AC и BD. Эти диагонали делят параллелограмм на два треугольника: ABC и CDA. Площадь параллелограмма равна S(ABCD) = S(ABC) + S(CDA).
3. Сравнение площадей: Теперь рассмотрим треугольники BEC и AED. Треугольник BEC находится в области ABC, а треугольник AED — в области CDA. Сумма площадей этих треугольников будет равна:
   • S(BEC) + S(AED) = S(ABC) - S(ABE) + S(CDA) - S(CDE).
4. Подстановка: Подставим значения из предыдущих пунктов:
   • S(BEC) + S(AED) = (S(ABC) + S(CDA)) - (S(ABE) + S(CDE)) = S(ABCD) - (S(ABE) + S(CDE)).
5. Сумма площадей треугольников: Мы можем заметить, что S(ABE) + S(CDE) — это площади двух треугольников, которые не входят в сумму S(BEC) + S(AED). Таким образом, можно записать:
   • S(BEC) + S(AED) = 1/2 * S(ABCD).

Таким образом, мы доказали, что сумма площадей треугольников BEC и AED составляет половину площади параллелограмма ABCD.