Давайте решим задачу шаг за шагом. Начнем с того, что у нас есть квадрат ABCD. Обозначим его вершины:

• A(0, a)
• B(a, a)
• C(a, 0)
• D(0, 0)

Точка O - это точка пересечения диагоналей квадрата, которая делит их пополам. Поскольку диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом, координаты точки O будут:

• O(a/2, a/2)

Теперь найдем координаты точки M, которая является серединой стороны CD:

• M((0 + a)/2, 0) = M(a/2, 0)

Теперь у нас есть все необходимые точки для вычисления углов.

1. Найдем sin угла CBM:

Для этого нам нужно найти векторы CB и BM:

• CB = B - C = (a, a) - (a, 0) = (0, a)
• BM = M - B = (a/2, 0) - (a, a) = (-a/2, -a)

Теперь найдем угол между векторами CB и BM. Для этого используем формулу:

• cos(θ) = (CB • BM) / (|CB| * |BM|)

Сначала найдем длины векторов:

• |CB| = √(0^2 + a^2) = a
• |BM| = √((-a/2)^2 + (-a)^2) = √(a^2/4 + a^2) = √(5a^2/4) = (√5/2)a

Теперь найдем скалярное произведение:

• CB • BM = (0)(-a/2) + (a)(-a) = -a^2

Теперь можем найти cos угла CBM:

• cos(θ) = (-a^2) / (a * (√5/2)a) = -2 / √5

Теперь найдем sin угла CBM:

• sin(θ) = √(1 - cos²(θ)) = √(1 - (4/5)) = √(1/5) = 1/√5

2. Найдем cos угла ABO:

Для этого найдем векторы AB и AO:

• AB = B - A = (a, a) - (0, a) = (a, 0)
• AO = O - A = (a/2, a/2) - (0, a) = (a/2, -a/2)

Теперь найдем угол между векторами AB и AO:

• cos(φ) = (AB • AO) / (|AB| * |AO|)

Длину векторов находим:

• |AB| = √(a^2 + 0^2) = a
• |AO| = √((a/2)^2 + (-a/2)^2) = √(a^2/4 + a^2/4) = √(a^2/2) = (√2/2)a

Скалярное произведение:

• AB • AO = (a)(a/2) + (0)(-a/2) = a²/2

Теперь можем найти cos угла ABO:

• cos(φ) = (a²/2) / (a * (√2/2)a) = 1/√2

3. Найдем tg угла ABM:

Для этого найдем sin и cos угла ABM:

• tg(θ) = sin(θ) / cos(θ) = (1/√5) / (2/√5) = 1/2

4. Найдем ctg угла ABM:

Это обратная величина к tg:

• ctg(θ) = 1 / tg(θ) = 2

Таким образом, мы нашли все необходимые значения:

• sin угла CBM = 1/√5
• cos угла ABO = 1/√2
• tg угла ABM = 1/2
• ctg угла ABM = 2