Вопрос: Докажите, что диаметр, проведенный через середину хорды той же окружности, отличной от диаметра, перпендикулярен этой хорде.

Геометрия 8 класс Свойства окружности геометрия 8 класс диаметр хорда окружность доказательство перпендикулярность свойства окружности средняя линия теорема о диаметре геометрические доказательства Углы радиус свойства хорд геометрические фигуры Новый

Чтобы доказать, что диаметр, проведенный через середину хорды окружности, перпендикулярен этой хорде, давайте рассмотрим необходимые шаги и используем основные свойства окружности.

1. Определим элементы:
   • Пусть O - центр окружности.
   • Пусть AB - хорда окружности, и M - ее середина.
   • Пусть CD - диаметр, проходящий через точку M.
2. Проведем радиусы:
   • Проведем радиусы OA и OB, соединяющие центр O с концами хорды A и B.
   • Так как A и B лежат на окружности, то OA = OB (радиусы равны).
3. Рассмотрим треугольник OAM:
   • Треугольник OAM является равнобедренным, так как OA = OM (оба радиусы).
   • Согласно свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны: углы OAM и OMA равны.
4. Измерим угол:
   • Пусть угол OAM = угол OMA = α.
   • Тогда угол AOB равен 2α (по свойству треугольника).
5. Рассмотрим треугольник OMB:
   • Аналогично, треугольник OMB также равнобедренный, и углы OMB и OMB равны β.
   • Таким образом, угол BOC равен 2β.
6. Сумма углов:
   • Мы знаем, что сумма углов в треугольнике OAB равна 180 градусам.
   • Поэтому: 2α + 2β = 180 градусов.
   • Это означает, что α + β = 90 градусов.
7. Заключение:
   • Так как угол между радиусом OM и хордой AB равен α, а угол между радиусом OM и диаметром CD равен 90 градусов - α, то угол OMB равен 90 градусам.
   • Следовательно, диаметр CD перпендикулярен хорде AB.

Таким образом, мы доказали, что диаметр, проведенный через середину хорды, перпендикулярен этой хорде. Это свойство является важным в геометрии окружностей.