Вопрос: Задача 3. В равнобедренном треугольнике ABC на боковых сторонах AB и BC отмечены точки E и F. Известно, что отрезки BE и EF равны. Биссектриса угла EFC пересекает основание AC в точке K. Нужно доказать, что отрезки KF и KC равны.

Геометрия 8 класс Биссектрисы и свойства треугольников геометрия 8 класс равнобедренный треугольник задача точки E и F отрезки BE и EF биссектриса угол EFC основание AC точка K доказать отрезки KF и KC равенство отрезков Новый

Ответ:

Давайте разберемся с этой задачей шаг за шагом.

1. У нас есть равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC. В боковых сторонах этого треугольника мы отметили точки E и F. Из условия задачи известно, что отрезки BE и EF равны, то есть BE = EF.

2. Поскольку BE = EF, это означает, что треугольник EBF является равнобедренным, так как у него два равных отрезка. Следовательно, углы при основании этого треугольника равны, то есть углы EBF и EFB равны.

3. Теперь давайте рассмотрим углы треугольника ABC. Поскольку ABC равнобедренный, углы при основании равны. Это значит, что угол BAC равен углу BCA. Если обозначим угол ABC как α, то мы можем записать угол ACB как (180° - α) / 2.

4. Углы CFE и EFB являются смежными, а значит, их сумма равна 180°. Таким образом, мы можем записать, что угол EFC равен 180° - угол EFB. Поскольку угол EFB равен углу EBF, то угол EFC также равен 180° - угол EBF.

5. Мы уже выяснили, что угол EBF равен 180° - угол ABC. Таким образом, угол EFC равен 180° - (180° - угол ABC) = угол ABC.

6. Биссектриса угла EFC пересекает основание AC в точке K, и поскольку биссектрисы делят угол пополам, то угол KFC будет равен половине угла EFC. Мы уже установили, что угол EFC равен углу ABC, следовательно, угол KFC равен 1/2 угла ABC.

7. Теперь у нас есть три угла: угол ACB, угол KCF и угол KFC. Все они равны между собой, то есть угол ACB = угол KCF = угол KFC. Это означает, что треугольник CKF является равнобедренным, так как у него два угла равны.

8. В равнобедренном треугольнике CKF, где CF является основанием, стороны KF и KC должны быть равны. Таким образом, мы приходим к выводу, что KF = KC.

Таким образом, мы доказали, что отрезки KF и KC равны, что и требовалось доказать.