Какой объём конуса можно определить, если отрезки AВ и ВС представляют собой хорды его основания, пункт О - центр основания, и через большую хорду и вершину конуса проходит плоскость? Известны значения: AВ = 12 см, угол AOB = 60 градусов, угол BOC = 120 градусов, а также площадь сечения равна 60√3?

Геометрия 9 класс Объем конуса Новый

Для определения объёма конуса, необходимо сначала выяснить некоторые характеристики его основания и высоты. В данном случае, основание конуса представляет собой круг, а хорды AВ и BC находятся в плоскости, проходящей через вершину конуса и большую хорду AB.

Шаг 1: Определение радиуса основания конуса

Хорда AB равна 12 см и образует угол AOB в 60 градусов. Поскольку O - центр основания, можно использовать формулу для длины хорды:

l = 2 * r * sin(θ/2),

где l - длина хорды, r - радиус окружности, θ - угол, соответствующий хорде.

Подставляем значения:

• l = 12 см,
• θ = 60 градусов.

Тогда:

• 12 = 2 * r * sin(30°),
• 12 = 2 * r * 0.5,
• 12 = r.

Таким образом, радиус основания конуса r = 12 см.

Шаг 2: Определение высоты конуса

Площадь сечения, проходящего через большую хорду AB и вершину конуса, равна 60√3 см². Площадь треугольника, образованного точками A, B и O, можно выразить через радиус и высоту:

Площадь = 0.5 * основание * высота.

В данном случае основание AB = 12 см, а высота - это перпендикуляр, опущенный из точки O на хорду AB. Обозначим высоту как h.

Подставляем значения:

60√3 = 0.5 * 12 * h.

Упрощаем уравнение:

• 60√3 = 6h,
• h = 10√3 см.

Шаг 3: Определение объёма конуса

Объём V конуса можно вычислить по формуле:

V = (1/3) * π * r² * h.

Подставляем известные значения:

• r = 12 см,
• h = 10√3 см.

Тогда:

V = (1/3) * π * (12)² * (10√3) = (1/3) * π * 144 * 10√3 = 480π√3 см³.

Итог: Объём конуса составляет 480π√3 см³.