В окружность вписана трапеция, у которой диагонали перпендикулярны друг другу, а основания составляют 9 корней из 2 и 3 корня из 2. Какой радиус окружности и какие длины боковых сторон этой трапеции?

Геометрия 9 класс Вписанные и описанные фигуры радиус окружности трапеция диагонали перпендикулярны основания трапеции длины боковых сторон Новый

Давайте решим задачу шаг за шагом.

У нас есть трапеция ABCD, где AB и CD - основания, а AC и BD - боковые стороны. Из условия известно, что:

• Основание AB = 9√2
• Основание CD = 3√2
• Диагонали AC и BD перпендикулярны.

Так как трапеция вписана в окружность, мы можем использовать некоторые свойства таких фигур. В частности, для трапеции, вписанной в окружность, сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:

1. Определим длины боковых сторон:

Обозначим боковые стороны как AD и BC. Тогда по свойству трапеции:

AD + BC = AB + CD

Подставляем известные значения:

AD + BC = 9√2 + 3√2 = 12√2

Теперь, чтобы найти длины боковых сторон, воспользуемся свойством перпендикулярности диагоналей. Если диагонали AC и BD перпендикулярны, то можно использовать теорему Пифагора для каждого из прямоугольных треугольников, образованных диагоналями и боковыми сторонами.

2. Найдем радиус окружности:

Для трапеции, вписанной в окружность, радиус R можно найти по формуле:

R = (AB CD) / (2 h)

где h - высота трапеции. Чтобы найти высоту, мы можем использовать свойства прямоугольного треугольника, образованного диагоналями. Поскольку AC и BD перпендикулярны, высота h будет равна половине разности оснований:

h = (AB - CD) / 2

Подставим значения:

h = (9√2 - 3√2) / 2 = (6√2) / 2 = 3√2

Теперь подставим h в формулу для радиуса:

R = (9√2 * 3√2) / (2 * 3√2) = (27 * 2) / (6√2) = 27 / (3√2) = 9 / √2 = 9√2 / 2

Таким образом, радиус окружности R = 9√2 / 2.

3. Найдем боковые стороны:

Теперь вернемся к боковым сторонам AD и BC. Мы знаем, что AD + BC = 12√2. Поскольку трапеция симметрична (основания разные, но диагонали перпендикулярны), можно предположить, что боковые стороны равны:

AD = BC = x

Тогда у нас есть уравнение:

2x = 12√2

x = 6√2

Таким образом, длины боковых сторон AD и BC равны 6√2.

Итак, подводя итог:

• Радиус окружности R = 9√2 / 2
• Длины боковых сторон AD и BC = 6√2