В треугольнике ABC, где AB=BC=61, а AC=22, какова длина медианы BM?

Геометрия 9 класс Медианы треугольника длина медианы треугольник ABC AB=BC=61 AC=22 геометрия задачи на медианы свойства треугольников Новый

Чтобы найти длину медианы BM в треугольнике ABC, где AB = BC = 61 и AC = 22, мы можем воспользоваться формулой для нахождения длины медианы. Медиана BM соединяет вершину B с серединой стороны AC, обозначим эту середину буквой M.

Сначала найдем координаты точек A, B и C. Предположим, что:

• Точка A имеет координаты (0, 0).
• Точка B имеет координаты (61, 0), так как AB = 61.
• Точка C будет находиться на окружности радиуса 61 с центром в точке B и радиуса 22 с центром в точке A.

Сначала найдем координаты точки C. У нас есть два уравнения:

• (x - 61)² + y² = 61² (это уравнение окружности с центром в B)
• x² + y² = 22² (это уравнение окружности с центром в A)

Решим эти уравнения. Подставим второе уравнение в первое:

1. Из второго уравнения выразим y²: y² = 22² - x².
2. Подставим это значение в первое уравнение:
3. (x - 61)² + (22² - x²) = 61².

Теперь раскроем скобки и упростим уравнение:

• (x² - 122x + 3721) + (484 - x²) = 3721.
• Упростим: -122x + 484 = 0.
• 122x = 484.
• x = 484 / 122 = 4.

Теперь подставим x = 4 в уравнение y²:

• y² = 22² - 4² = 484 - 16 = 468.
• y = √468 = 6√13.

Таким образом, координаты точки C равны (4, 6√13).

Теперь найдем координаты точки M, которая является серединой отрезка AC:

• Координаты точки M: ((0 + 4) / 2, (0 + 6√13) / 2) = (2, 3√13).

Теперь мы можем найти длину медианы BM, используя формулу для расстояния между двумя точками:

• Длина BM = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²), где (x1, y1) - координаты точки B, а (x2, y2) - координаты точки M.

Подставим значения:

• BM = √((2 - 61)² + (3√13 - 0)²).
• BM = √((-59)² + (3√13)²).
• BM = √(3481 + 117) = √3598.

Таким образом, длина медианы BM равна √3598. Это значение можно оставить в корне или вычислить численно, если нужно.