Вопрос по геометрии:

1. Докажите, что сумма боковых сторон трапеции больше разности оснований.
2. Докажите, что сумма диагоналей трапеции больше суммы оснований.
3. Докажите, что разность оснований больше разности боковых сторон.
4. Докажите, что диагонали трапеции точкой их пересечения не делятся пополам.

Помогите, пожалуйста!

Геометрия 9 класс Трапеция геометрия 9 класс трапеция сумма боковых сторон разность оснований сумма диагоналей пересечение диагоналей доказательства свойства трапеции неравенства в геометрии Новый

1. Докажем, что сумма боковых сторон трапеции больше разности оснований.

Рассмотрим трапецию ABCD, где AB || CD, и AB - меньшее основание, а CD - большее основание. Опустим перпендикуляры из точек B и C на линию CD, обозначим точки их пересечения как H и P соответственно.

• По свойствам прямоугольных треугольников BAH и CDP, мы можем сказать, что AB > AH (где AH - длина высоты, опущенной из B) и CD > PD (где PD - длина высоты, опущенной из C).

Теперь, поскольку AH и PD - это высоты, то у нас получается, что:

• AB + CD > AH + PD.

Таким образом, мы имеем, что сумма боковых сторон AB и CD больше разности оснований, что и требовалось доказать.

2. Докажем, что сумма диагоналей трапеции больше суммы оснований.

Рассмотрим диагонали AC и BD. Мы можем рассмотреть треугольники HBD и PCA, где H - точка пересечения высоты из B на CD, а P - точка пересечения высоты из C на AB.

• В треугольнике HBD мы имеем: BD > HP + PD.
• В треугольнике PCA мы имеем: AC > HP + AH.

Сложив эти два неравенства, получаем:

• AC + BD > (HP + PD) + (HP + AH).

Однако мы знаем, что HP = BC и PD + HP + AH = AD. Подставляем это в неравенство:

• AC + BD > BC + AD.

Таким образом, сумма диагоналей AC и BD больше суммы оснований, что и требовалось доказать.

3. Докажем, что разность оснований больше разности боковых сторон.

У нас есть основание AD и BC, а также боковые стороны AB и CD. Мы знаем, что:

• AD - BC = AH + PD.
• При этом мы также знаем, что AH и PD - это положительные значения, так как они представляют собой высоты.

Таким образом, разность оснований действительно оказывается больше разности боковых сторон, что и требовалось доказать.

4. Докажем, что диагонали трапеции точкой их пересечения не делятся пополам.

Пусть диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Для того чтобы доказать, что точка O не делит диагонали пополам, рассмотрим треугольники AOB и COD.

Поскольку AB || CD, то углы AOB и COD являются накрест лежащими, и следовательно, треугольники AOB и COD подобны. Однако длины сторон, противоположные углам, не равны, поскольку AB и CD не равны между собой. Это означает, что AO не равно OC и BO не равно OD.

Таким образом, мы приходим к выводу, что диагонали AC и BD не делятся пополам точкой их пересечения O. Это и требовалось доказать.