1. Как можно определить длины сторон прямоугольника и его периметр, если известно, что площадь равна 96 см², а одна сторона меньше другой на 4 см?

2. Какое расстояние между двумя селами, равное 60 км, первый мотоциклист проезжает на 30 минут быстрее второго? Какая скорость у каждого мотоциклиста, если скорость второго мотоциклиста на 20 км/ч меньше?

Математика 10 класс Системы уравнений длина сторон прямоугольника периметр прямоугольника площадь прямоугольника расстояние между селами скорость мотоциклистов разница в скорости задачи по математике геометрия алгебра решение задач Новый

1. Определение длины сторон прямоугольника и его периметра:

Дано: площадь прямоугольника (S) равна 96 см², и одна сторона (например, длина) меньше другой (ширины) на 4 см. Обозначим ширину прямоугольника как x см. Тогда длина будет (x - 4) см.

Сначала запишем формулу для площади прямоугольника:

S = длина * ширина

Подставим известные значения:

96 = x * (x - 4)

Теперь раскроем скобки:

96 = x² - 4x

Переносим все в одну сторону уравнения:

x² - 4x - 96 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать дискриминант:

D = b² - 4ac, где a = 1, b = -4, c = -96.

Подставим значения:

D = (-4)² - 4 * 1 * (-96) = 16 + 384 = 400.

Теперь найдем корни уравнения:

x = (-b ± √D) / (2a) = (4 ± √400) / 2.

√400 = 20, значит:

x = (4 ± 20) / 2.

Получаем два значения:

• x1 = (24) / 2 = 12 см (ширина)
• x2 = (-16) / 2 (это отрицательное значение, не подходит)

Теперь подставим значение ширины в формулу для нахождения длины:

Длина = x - 4 = 12 - 4 = 8 см.

Теперь можем найти периметр (P) прямоугольника:

P = 2 * (длина + ширина) = 2 * (8 + 12) = 2 * 20 = 40 см.

Ответ: Длина прямоугольника 8 см, ширина 12 см, периметр 40 см.

2. Определение скорости мотоциклистов:

Дано: расстояние между селами равно 60 км. Пусть скорость второго мотоциклиста равна v км/ч. Тогда скорость первого мотоциклиста будет (v + 20) км/ч.

Первый мотоциклист проезжает расстояние на 30 минут быстрее второго. Это означает, что время, которое тратит каждый мотоциклист на путь, можно выразить следующим образом:

Время первого мотоциклиста: T1 = 60 / (v + 20)

Время второго мотоциклиста: T2 = 60 / v

По условию задачи, T2 - T1 = 0.5 часа (30 минут). Запишем уравнение:

60 / v - 60 / (v + 20) = 0.5

Теперь умножим обе стороны уравнения на v(v + 20), чтобы избавиться от дробей:

60(v + 20) - 60v = 0.5 * v * (v + 20)

Раскроем скобки:

60v + 1200 - 60v = 0.5v² + 10v

Сократим:

1200 = 0.5v² + 10v

Переносим все в одну сторону:

0.5v² + 10v - 1200 = 0.

Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от дроби:

v² + 20v - 2400 = 0.

Теперь найдем дискриминант:

D = 20² - 4 * 1 * (-2400) = 400 + 9600 = 10000.

Теперь найдем корни уравнения:

v = (-20 ± √10000) / 2 = (-20 ± 100) / 2.

Получаем два значения:

• v1 = (80) / 2 = 40 км/ч (скорость второго мотоциклиста)
• v2 = (-120) / 2 (это отрицательное значение, не подходит)

Теперь найдем скорость первого мотоциклиста:

Скорость первого мотоциклиста = v + 20 = 40 + 20 = 60 км/ч.

Ответ: Скорость второго мотоциклиста 40 км/ч, скорость первого мотоциклиста 60 км/ч.