В основании прямой призмы  АВСА1В1С1 лежит треугольник АВС со сторонами АВ=ВС, АС=28 .

На ребре ВВ1 выбрана точка К так, что ВК:В1К=4:1 . Угол между плоскостями АВС и  АКС равен 45 градусов.

а) Докажите, что расстояние между прямыми АВ  и А1С1 равно боковому ребру призмы.

б) Найдите расстояние между прямыми АВ и А1С1, если КС=18

Математика 10 класс Прямые и плоскости в пространстве Новый

Для решения данной задачи, начнем с анализа условий, которые нам даны.

Часть а)

Нам нужно доказать, что расстояние между прямыми АВ и А1С1 равно боковому ребру призмы.

• Обозначим боковое ребро призмы как h (это расстояние между плоскостями ABC и A1B1C1).
• Прямые AB и A1C1 находятся в разных плоскостях: AB — в плоскости ABC, а A1C1 — в плоскости A1B1C1.
• Поскольку угол между плоскостями ABC и AKC равен 45 градусов, это означает, что прямая AK находится под углом 45 градусов к плоскости ABC.
• Из геометрии известно, что если прямая перпендикулярна плоскости, то расстояние от этой прямой до другой прямой, находящейся в этой плоскости, равно высоте (боковому ребру) призмы.
• Таким образом, расстояние между прямыми AB и A1C1 будет равно боковому ребру призмы, так как прямая AK перпендикулярна плоскости ABC.

Следовательно, мы доказали, что расстояние между прямыми AB и A1C1 равно боковому ребру призмы.

Часть б)

Теперь найдем расстояние между прямыми AB и A1C1, если КС = 18.

• Сначала найдем длину бокового ребра h. Поскольку точка K делит отрезок BB1 в отношении 4:1, мы можем выразить h через длину BB1.
• Обозначим длину бокового ребра BB1 как h. Тогда BK = (4/5)h и B1K = (1/5)h.
• Теперь, учитывая, что угол между плоскостями ABC и AKC равен 45 градусов, можем использовать тригонометрию для нахождения высоты.
• Из треугольника BKC, где КС = 18, мы можем записать уравнение: tan(45°) = h / 18. Поскольку tan(45°) = 1, то h = 18.

Таким образом, расстояние между прямыми AB и A1C1 равно 18.

Ответ: Расстояние между прямыми AB и A1C1 равно 18.