В основании прямой призмы  АВСА1В1С1 лежит треугольник АВС со сторонами АВ=ВС, АС=28 .

На ребре ВВ1 выбрана точка К так, что ВК:В1К=4:1 . Угол между плоскостями АВС и  АКС равен 45 градусов.

а) Докажите, что расстояние между прямыми АВ  и А1С1 равно боковому ребру призмы.

б) Найдите расстояние между прямыми АВ и А1С1, если КС=18

Математика 10 класс Прямые и плоскости в пространстве Новый

Для решения данной задачи, давайте разберем её по частям, начиная с пункта (а).

а) Докажите, что расстояние между прямыми АВ и А1С1 равно боковому ребру призмы.

1. Обозначим боковое ребро призмы как h. Призму можно представить как набор вертикальных отрезков, соединяющих соответствующие точки основания. В нашем случае, точки A, B и C лежат в одной плоскости, а A1, B1 и C1 находятся на той же высоте h над соответствующими точками основания.

2. Прямые AB и A1C1 являются параллельными, так как они находятся в двух параллельных плоскостях (основание и верхняя грань призмы). Это означает, что расстояние между ними будет постоянным и равным высоте призмы.

3. Чтобы подтвердить это, можно рассмотреть проекции точек A, B, C, A1, B1 и C1 на вертикальную плоскость, проходящую через прямую AB. Поскольку A1C1 параллельно AB, расстояние между этими прямыми будет равно высоте призмы, то есть боковому ребру h.

Таким образом, мы доказали, что расстояние между прямыми AB и A1C1 равно боковому ребру призмы.

б) Найдите расстояние между прямыми АВ и А1С1, если КС=18.

1. Мы знаем, что угол между плоскостями ABC и AKC равен 45 градусов. Это значит, что плоскость AKC наклонена относительно плоскости ABC под углом 45 градусов.

2. Расстояние между двумя параллельными прямыми можно найти, используя формулу для расстояния между прямой и плоскостью. В данном случае, нам нужно найти расстояние от точки A1 до прямой AB, проецируя это расстояние на плоскость, содержащую точку K.

3. Поскольку КС=18, и мы знаем, что ВК:В1К=4:1, то можно найти длину отрезка ВК. Обозначим длину ВК как 4x, а В1К как x. Тогда у нас есть уравнение:

• 4x + x = h (где h - высота призмы)

4. Таким образом, h = 5x. По условию задачи, угол между плоскостями равен 45 градусов, что означает, что высота h равна длине проекции отрезка на плоскость, содержащую AB.

5. Используя тригонометрию, мы можем сказать, что:

• h = КС * sin(45) = 18 * √2 / 2 = 9√2.

6. Теперь, зная, что h = 5x, можем найти x:

• 9√2 = 5x
• x = 9√2 / 5.

7. Теперь можем найти расстояние между прямыми AB и A1C1, которое равно боковому ребру h:

• h = 5 * (9√2 / 5) = 9√2.

Таким образом, расстояние между прямыми AB и A1C1 равно 9√2.