Гипотенуза прямоугольного треугольника составляет 61. Один из катетов превышает другой на 20%. Как можно определить катеты и биссектрису прямого угла?

Математика 10 класс Прямоугольные треугольники гипотенуза катеты биссектрисы прямоугольный треугольник математика 10 класс Новый

Для решения задачи начнем с обозначения катетов прямоугольного треугольника. Пусть один катет равен x, тогда другой катет, который превышает первый на 20%, будет равен:

• y = x + 0.2x = 1.2x.

Теперь у нас есть два катета: x и 1.2x. По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. В нашем случае гипотенуза составляет 61, поэтому можем записать уравнение:

• x² + (1.2x)² = 61².

Раскроем скобки и упростим уравнение:

• x² + 1.44x² = 3721,
• 2.44x² = 3721.

Теперь разделим обе стороны уравнения на 2.44:

• x² = 3721 / 2.44.

Вычислим значение x²:

• x² ≈ 1520.5.

Теперь найдем x:

• x ≈ √1520.5 ≈ 39.0.

Теперь, зная x, можем найти второй катет y:

• y = 1.2 * 39.0 ≈ 46.8.

Таким образом, катеты треугольника равны:

• Первый катет (x) ≈ 39.0,
• Второй катет (y) ≈ 46.8.

Теперь найдем биссектрису прямого угла. Формула для нахождения длины биссектрисы (l) прямого угла в прямоугольном треугольнике выглядит так:

• l = (a * b) / (a + b),

где a и b — длины катетов. Подставим наши значения:

• a = 39.0,
• b = 46.8.

Теперь подставим значения в формулу:

• l = (39.0 * 46.8) / (39.0 + 46.8).

Вычислим:

• l = 1825.2 / 85.8 ≈ 21.3.

Итак, длина биссектрисы прямого угла составляет примерно 21.3.

В итоге, мы нашли:

• Первый катет ≈ 39.0,
• Второй катет ≈ 46.8,
• Биссектрису прямого угла ≈ 21.3.