Давайте разберем, что такое рациональные числа и как мы можем доказать, что разность, произведение и частное двух рациональных чисел также являются рациональными.

Определение рационального числа: Рациональное число - это число, которое можно представить в виде дроби a/b, где a и b - целые числа, а b не равно нулю.

Теперь обозначим два рациональных числа:

• Первое рациональное число: x = a/b, где a и b - целые числа, b ≠ 0.
• Второе рациональное число: y = c/d, где c и d - целые числа, d ≠ 0.

Теперь мы рассмотрим каждую из операций:

1. Разность: x - y = a/b - c/d. Чтобы вычесть дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет равен bd. Теперь приводим дроби к общему знаменателю:
• x - y = (a*d)/(b*d) - (c*b)/(d*b) = (a*d - c*b)/(b*d).
2. Поскольку a, b, c и d - целые числа, то a*d и c*b также будут целыми числами. Значит, числитель (a*d - c*b) и знаменатель (b*d) являются целыми числами, и b*d ≠ 0 (так как b и d не равны нулю). Таким образом, разность x - y является рациональным числом.
3. Произведение: x * y = (a/b) * (c/d). Произведение дробей вычисляется следующим образом:
• x * y = (a*c)/(b*d).
4. Здесь a*c - целое число (так как произведение двух целых чисел - целое число), и b*d ≠ 0 (так как b и d не равны нулю). Следовательно, произведение x * y является рациональным числом.
5. Частное: x / y = (a/b) / (c/d). Чтобы разделить дроби, нужно умножить первую дробь на обратную второй:
• x / y = (a/b) * (d/c) = (a*d)/(b*c).
6. Здесь a*d - целое число, и b*c ≠ 0 (так как b и c не равны нулю). Таким образом, частное x / y также является рациональным числом.

В итоге, мы доказали, что:

• Разность двух рациональных чисел является рациональным числом.
• Произведение двух рациональных чисел является рациональным числом.
• Частное двух рациональных чисел (при условии, что делитель не равен нулю) является рациональным числом.