Как можно найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2-x и y=3x?

Математика 10 класс Площадь фигуры, ограниченной кривыми площадь фигуры линии y=x^2-x y=3x нахождение площади математика 10 класс Новый

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^2 - x и y = 3x, следуем следующим шагам:

1. Найти точки пересечения графиков. Для этого приравняем уравнения:
• x^2 - x = 3x
• Переносим все члены в одну сторону: x^2 - 4x = 0
• Вынесем x за скобки: x(x - 4) = 0
• Таким образом, получаем два решения: x = 0 и x = 4.
2. Определить, какая функция выше на отрезке [0, 4]. Для этого подставим любое значение из этого интервала, например x = 2:
• y = x^2 - x при x = 2: y = 2^2 - 2 = 2.
• y = 3x при x = 2: y = 3 * 2 = 6.
3. Таким образом, на отрезке [0, 4] график функции y = 3x выше графика y = x^2 - x.
4. Записать интеграл для нахождения площади. Площадь между графиками можно найти, вычислив интеграл от разности функций:
• Площадь S = ∫ (3x - (x^2 - x)) dx от 0 до 4.
• Упрощаем выражение под интегралом: 3x - x^2 + x = -x^2 + 4x.
5. Вычислить интеграл:
• Теперь нам нужно вычислить интеграл: ∫ (-x^2 + 4x) dx от 0 до 4.
• Интеграл от -x^2: -x^3/3, интеграл от 4x: 4x^2/2 = 2x^2.
• Таким образом, получаем: ∫ (-x^2 + 4x) dx = -x^3/3 + 2x^2.
6. Подставить пределы интегрирования:
• Подставляем x = 4: S(4) = -4^3/3 + 2*4^2 = -64/3 + 32 = -64/3 + 96/3 = 32/3.
• Подставляем x = 0: S(0) = -0^3/3 + 2*0^2 = 0.
7. Таким образом, площадь фигуры S = S(4) - S(0) = 32/3 - 0 = 32/3.
8. Ответ: Площадь фигуры, ограниченной графиками y = x^2 - x и y = 3x, равна 32/3.