Как найти площадь области, ограниченной кривой Y=x^2+4 и прямой y=3x+8?

Математика 10 класс Площадь фигуры, ограниченной кривыми площадь области кривая прямая Y=x^2+4 y=3x+8 математика 10 класс задачи по математике интегралы графики функций Новый

Чтобы найти площадь области, ограниченной кривой Y = x² + 4 и прямой y = 3x + 8, необходимо выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

1. Найти точки пересечения кривой и прямой. Для этого приравняем уравнения друг к другу:
• x² + 4 = 3x + 8
2. Переносим все члены в одну сторону:
• x² - 3x + 4 - 8 = 0
• x² - 3x - 4 = 0
3. Решаем квадратное уравнение: Мы можем использовать дискриминант:
• D = b² - 4ac = (-3)² - 4*1*(-4) = 9 + 16 = 25
• Теперь находим корни:
• x₁ = (3 + √25)/2 = (3 + 5)/2 = 4
• x₂ = (3 - √25)/2 = (3 - 5)/2 = -1
4. Теперь у нас есть точки пересечения: x = -1 и x = 4.
5. Найти площадь между кривой и прямой: Площадь можно найти, вычислив интеграл от разности функций на интервале от -1 до 4.
• Площадь S = ∫ от -1 до 4 (3x + 8 - (x² + 4)) dx
• Упрощаем выражение под интегралом:
• S = ∫ от -1 до 4 (3x + 8 - x² - 4) dx = ∫ от -1 до 4 (-x² + 3x + 4) dx
6. Теперь вычисляем интеграл:
• ∫ (-x² + 3x + 4) dx = -x³/3 + (3/2)x² + 4x
7. Подставляем пределы интегрирования:
• S = [-x³/3 + (3/2)x² + 4x] от -1 до 4
• Сначала подставляем верхний предел (x = 4):
• S(4) = -4³/3 + (3/2)*4² + 4*4 = -64/3 + 24 + 16 = -64/3 + 40 = 120/3 - 64/3 = 56/3
• Теперь подставляем нижний предел (x = -1):
• S(-1) = -(-1)³/3 + (3/2)*(-1)² + 4*(-1) = 1/3 + (3/2) - 4 = 1/3 + 1.5 - 4 = 1/3 - 2.5 = 1/3 - 7/3 = -6/3 = -2
8. Находим площадь:
• S = S(4) - S(-1) = (56/3) - (-2) = (56/3) + (6/3) = 62/3

Таким образом, площадь области, ограниченной кривой и прямой, равна 62/3.