Какова площадь фигуры, ограниченной линиями y=1/2x^2 и y=4-x?

Математика 10 класс Площадь фигуры, ограниченной кривыми площадь фигуры линии y=1/2x^2 линии y=4-x математика 10 класс интегралы графики функций площадь под кривой Новый

Для нахождения площади фигуры, ограниченной кривыми y = (1/2)x^2 и y = 4 - x, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте рассмотрим их по порядку.

1. Найдем точки пересечения кривых. Для этого приравняем уравнения:

1/2x^2 = 4 - x

2. Умножим обе стороны уравнения на 2 для удобства:

x^2 = 8 - 2x

3. Переносим все члены в одну сторону:

x^2 + 2x - 8 = 0

4. Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4*1*(-8) = 4 + 32 = 36

5. Находим корни:

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2a) = (-2 + 6) / 2 = 2

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2a) = (-2 - 6) / 2 = -4

6. Теперь у нас есть точки пересечения: x = -4 и x = 2.

Теперь, когда мы знаем границы интегрирования, можем найти площадь, используя интеграл:

1. Запишем интеграл для площади:

Площадь = интеграл от (-4) до (2) (верхняя функция - нижняя функция) dx.

В нашем случае верхняя функция – это 4 - x, а нижняя – (1/2)x^2.

2. Запишем интеграл:

Площадь = интеграл от (-4) до (2) ((4 - x) - (1/2)x^2) dx.

3. Теперь упростим выражение под интегралом:

   Площадь = интеграл от (-4) до (2) (4 - x - (1/2)x^2) dx.

4. Теперь найдем первообразную:

   Первообразная от (4 - x - (1/2)x^2) равна (4x - (1/2)x^2 - (1/6)x^3).

5. Теперь подставим границы интегрирования:

Площадь = [4(2) - (1/2)(2)^2 - (1/6)(2)^3] - [4(-4) - (1/2)(-4)^2 - (1/6)(-4)^3].

6. Посчитаем значения:

Площадь = [8 - 2 - (8/6)] - [-16 - 8 + (64/6)].

Площадь = [6 - (4/3)] - [-24 + (64/6)].

7. Теперь упростим:

   Площадь = [(18/3) - (4/3)] - [-24 + (64/6)] = (14/3) - [-24 + (64/6)].

8. Преобразуем второй член:

   -24 = (-144/6), значит:

   Площадь = (14/3) + (144/6) - (64/6) = (14/3) + (80/6) = (14/3) + (40/3) = (54/3) = 18.

Итак, площадь фигуры, ограниченной данными кривыми, равна 18.