Как найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=2x+4, y=4-x и y=0?

Заранее огромное спасибо!

Математика 10 класс Площадь фигуры, ограниченной кривыми площадь фигуры линии y=2x+4 линии y=4-x y=0 математика 10 класс задачи по математике геометрия интегралы нахождение площади фигуры на координатной плоскости Новый

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=2x+4, y=4-x и y=0, нам нужно выполнить несколько шагов.

1. Найти точки пересечения линий.
   • Сначала найдем точку пересечения линий y=2x+4 и y=4-x. Для этого приравняем их:
   • 2x + 4 = 4 - x
   • Переносим все x в одну сторону:
   • 2x + x = 4 - 4
   • 3x = 0
   • x = 0. Подставим x=0 в одно из уравнений, например, y=2x+4:
   • y = 2(0) + 4 = 4. Таким образом, первая точка пересечения: (0, 4).
   • Теперь найдем точку пересечения y=4-x и y=0:
   • 4 - x = 0
   • x = 4. Подставляем x=4 в y=0, получаем точку (4, 0).
   • Теперь найдем точку пересечения y=2x+4 и y=0:
   • 2x + 4 = 0
   • 2x = -4
   • x = -2. Подставляем x=-2 в y=0, получаем точку (-2, 0).
2. Определить границы интегрирования.
   • Теперь у нас есть три точки пересечения: (0, 4), (4, 0) и (-2, 0).
   • Фигура, которую мы хотим найти, ограничена этими точками. Мы видим, что между x=-2 и x=4.
3. Записать интеграл для площади.
   • Площадь фигуры можно найти, вычислив интеграл разности верхней и нижней функций:
   • Площадь = интеграл от (-2) до (0) (2x + 4) dx + интеграл от (0) до (4) (4 - x) dx.
4. Вычислить интегралы.
   • Первый интеграл:
   • интеграл от (-2) до (0) (2x + 4) dx = [x^2 + 4x] от (-2) до (0) = (0 + 0) - [(-2)^2 + 4*(-2)] = 0 - (4 - 8) = 4.
   • Второй интеграл:
   • интеграл от (0) до (4) (4 - x) dx = [4x - (x^2)/2] от (0) до (4) = (16 - 8) - (0) = 8.
5. Сложить площади.
   • Теперь сложим результаты двух интегралов: 4 + 8 = 12.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, равна 12.