Как вычислить площадь фигуры, ограниченную заданными линиями: y=x^2+1 и x-y+1=0?

Математика 10 класс Площадь фигуры, ограниченной кривыми площадь фигуры вычисление площади линии y=x^2+1 линии x-y+1=0 математика геометрия интегралы аналитическая геометрия Новый

Для вычисления площади фигуры, ограниченной заданными линиями, необходимо выполнить несколько шагов. В данном случае мы имеем две функции: параболу y = x^2 + 1 и прямую x - y + 1 = 0, которую можно переписать в виде y = x + 1.

Шаги для нахождения площади:

1. Нахождение точек пересечения линий. Для этого необходимо решить систему уравнений, состоящую из уравнений параболы и прямой:
• Подставляем y = x + 1 в уравнение параболы:
• x + 1 = x^2 + 1
• Упрощаем уравнение:
• x^2 - x = 0
• Факторизуем: x(x - 1) = 0
• Находим корни: x = 0 и x = 1.
• Теперь подставим найденные значения x в уравнение прямой, чтобы найти соответствующие значения y:
• Для x = 0: y = 0 + 1 = 1.
• Для x = 1: y = 1 + 1 = 2.
• Таким образом, точки пересечения: (0, 1) и (1, 2).
2. Определение интеграла для нахождения площади. Площадь фигуры, ограниченной линиями, можно найти, вычислив определенный интеграл разности функций от точки x = 0 до x = 1:
• Площадь S = ∫(x + 1 - (x^2 + 1)) dx от 0 до 1.
• Упрощаем подынтегральное выражение: S = ∫(x - x^2) dx.
3. Вычисление интеграла. Теперь вычислим интеграл:
• ∫(x - x^2) dx = (1/2)x^2 - (1/3)x^3 + C.
• Теперь подставляем пределы интегрирования:
• S = [(1/2)(1)^2 - (1/3)(1)^3] - [(1/2)(0)^2 - (1/3)(0)^3].
• Вычисляем: S = (1/2 - 1/3) = (3/6 - 2/6) = 1/6.
4. Заключение. Таким образом, площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, равна 1/6 квадратных единиц.