Как можно определить первый член (b1) и знаменатель (q) геометрической прогрессии, если известны следующие условия: сумма всей прогрессии составляет 125, сумма первых трех членов равна 124, и модуль q меньше 1?

Математика 10 класс Геометрическая прогрессия Геометрическая прогрессия первый член знаменатель сумма прогрессии условия прогрессии математика 10 класс Новый

Для решения этой задачи нам нужно использовать свойства геометрической прогрессии. Напомним, что в геометрической прогрессии каждый следующий член получается умножением предыдущего члена на одно и то же число, которое называется знаменателем (q).

Обозначим первый член прогрессии как b1. Тогда первые три члена прогрессии будут:

• b1
• b1 * q
• b1 * q^2

Сначала найдем сумму первых трех членов:

Сумма первых трех членов S3 = b1 + b1 * q + b1 * q^2 = 124.

Мы можем вынести b1 за скобки:

S3 = b1 * (1 + q + q^2) = 124.

Теперь найдем сумму всей прогрессии. Для геометрической прогрессии, сумма бесконечной прогрессии S = b1 / (1 - q), если |q| < 1. В нашем случае эта сумма равна 125:

S = b1 / (1 - q) = 125.

Теперь у нас есть две уравнения:

1. b1 * (1 + q + q^2) = 124
2. b1 / (1 - q) = 125

Теперь выразим b1 из второго уравнения:

b1 = 125 * (1 - q).

Подставим это значение b1 в первое уравнение:

(125 * (1 - q)) * (1 + q + q^2) = 124.

Раскроем скобки:

125 * (1 - q) * (1 + q + q^2) = 124.

Теперь упростим уравнение:

125 * (1 - q) * (1 + q + q^2) = 125 * (1 + q + q^2 - q - q^2 - q^3) = 125 * (1 - q^3) = 124.

Теперь делим обе стороны на 125:

1 - q^3 = 124 / 125.

Теперь вычислим 124 / 125:

1 - q^3 = 0.992.

Таким образом:

q^3 = 1 - 0.992 = 0.008.

Теперь найдем q:

q = (0.008)^(1/3) = 0.2.

Теперь, когда мы знаем значение q, подставим его обратно в уравнение для b1:

b1 = 125 * (1 - 0.2) = 125 * 0.8 = 100.

Таким образом, мы пришли к следующим значениям:

Первый член (b1) геометрической прогрессии равен 100.

Знаменатель (q) геометрической прогрессии равен 0.2.