Как можно решить систему уравнений: x^2 + y^2 = 29 и xy = 10?

Математика 10 класс Системы уравнений система уравнений решение уравнений математика 10 класс x^2 + y^2 xy = 10 математические задачи Новый

Давайте рассмотрим систему уравнений:

• Первое уравнение: x^2 + y^2 = 29
• Второе уравнение: xy = 10

Для решения этой системы мы можем использовать метод подстановки или метод выражения одной переменной через другую. В данном случае удобнее будет выразить одну переменную через другую, используя второе уравнение.

1. Из второго уравнения выразим y:

y = 10/x

2. Теперь подставим это выражение для y в первое уравнение:

x^2 + (10/x)^2 = 29

3. Упростим уравнение:

x^2 + 100/x^2 = 29

4. Умножим всё уравнение на x^2, чтобы избавиться от дроби:

x^4 - 29x^2 + 100 = 0

5. Теперь это квадратное уравнение относительно z = x^2:

z^2 - 29z + 100 = 0

6. Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-29)^2 - 4*1*100 = 841 - 400 = 441

7. Теперь найдем корни:

z1,2 = (29 ± √441) / 2 = (29 ± 21) / 2

• z1 = (29 + 21) / 2 = 25
• z2 = (29 - 21) / 2 = 4
8. Теперь вернемся к переменной x:
• Если z1 = 25, то x^2 = 25, значит x = ±5.
• Если z2 = 4, то x^2 = 4, значит x = ±2.
9. Теперь найдем соответствующие значения y для каждого значения x:
• Когда x = 5, y = 10/5 = 2.
• Когда x = -5, y = 10/(-5) = -2.
• Когда x = 2, y = 10/2 = 5.
• Когда x = -2, y = 10/(-2) = -5.

Таким образом, у нас есть 4 пары решений:

• (5, 2)
• (-5, -2)
• (2, 5)
• (-2, -5)

Эти пары являются решениями данной системы уравнений.