Как можно решить уравнение x² - 2|x| - 8 = 0?

Математика 10 класс Уравнения с модулями уравнение решение уравнения математика 10 класс квадратное уравнение модуль алгебра x2 |x| математические задачи Новый

Чтобы решить уравнение x² - 2|x| - 8 = 0, сначала обратим внимание на модуль |x|. У нас есть два случая: когда x ≥ 0 и когда x < 0. Рассмотрим оба случая по отдельности.

Случай 1: x ≥ 0

В этом случае |x| = x. Подставим это значение в уравнение:

x² - 2x - 8 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта:

• Дискриминант D = b² - 4ac, где a = 1, b = -2, c = -8.
• D = (-2)² - 4 * 1 * (-8) = 4 + 32 = 36.

Теперь найдем корни уравнения по формуле:

• x1 = (-b + √D) / (2a) = (2 + 6) / 2 = 4.
• x2 = (-b - √D) / (2a) = (2 - 6) / 2 = -2.

Поскольку мы рассматриваем случай x ≥ 0, то единственный корень в этом случае: x = 4.

Случай 2: x < 0

В этом случае |x| = -x. Подставим это значение в уравнение:

x² + 2x - 8 = 0.

Решим это квадратное уравнение, используя дискриминант:

• Здесь a = 1, b = 2, c = -8.
• D = 2² - 4 * 1 * (-8) = 4 + 32 = 36.

Теперь найдем корни:

• x1 = (-b + √D) / (2a) = (-2 + 6) / 2 = 2.
• x2 = (-b - √D) / (2a) = (-2 - 6) / 2 = -4.

В этом случае мы ищем корень, который соответствует условию x < 0, поэтому принимаем x = -4.

Итог:

Таким образом, у уравнения x² - 2|x| - 8 = 0 два решения:

• x = 4 (для случая x ≥ 0),
• x = -4 (для случая x < 0).

Ответ: x = 4 и x = -4.