Как можно вычислить производную функции y=(sinx)^cosx?

Математика 10 класс Производные функций производная функции вычисление производной sinx cosX математика 10 класс Новый

Чтобы вычислить производную функции y = (sin(x))^cos(x), мы будем использовать метод логарифмического дифференцирования. Этот метод удобен для функций, где переменные находятся как в основании, так и в показателе степени.

1. Применим логарифм:

   Сначала возьмем натуральный логарифм от обеих сторон уравнения:

   ln(y) = ln((sin(x))^cos(x))

2. Упростим правую часть:

   Используя свойства логарифмов, мы можем вынести показатель степени:

   ln(y) = cos(x) * ln(sin(x))

3. Теперь продифференцируем обе стороны:

   Используем правило производной для логарифма и произведения:

   1/y * dy/dx = d/dx[cos(x) * ln(sin(x))]

4. Применим правило произведения:

   Теперь нам нужно найти производную правой части:

   d/dx[cos(x) * ln(sin(x))] = cos(x) * d/dx[ln(sin(x))] + ln(sin(x)) * d/dx[cos(x)]

5. Вычислим производные:
   • Производная ln(sin(x)) равна (1/sin(x)) * cos(x) = cot(x).
   • Производная cos(x) равна -sin(x).

   Таким образом, мы можем подставить эти значения:

   d/dx[cos(x) * ln(sin(x))] = cos(x) * cot(x) + ln(sin(x)) * (-sin(x))

6. Теперь подставим все обратно:

   Мы имеем:

   1/y * dy/dx = cos(x) * cot(x) - ln(sin(x)) * sin(x)

7. Умножим обе стороны на y:

   dy/dx = y * (cos(x) * cot(x) - ln(sin(x)) * sin(x))

8. Не забудем подставить y обратно:

   dy/dx = (sin(x))^cos(x) * (cos(x) * cot(x) - ln(sin(x)) * sin(x))

Итак, мы нашли производную функции y = (sin(x))^cos(x). Она равна:

dy/dx = (sin(x))^cos(x) * (cos(x) * cot(x) - ln(sin(x)) * sin(x)).