Чтобы найти производные указанных функций, мы будем использовать основные правила дифференцирования, такие как правило степени, правило произведения и правило цепочки. Давайте разберем каждую из функций по порядку.

1. f(x) = x^10

   Используем правило степени:

   f'(x) = 10 * x^(10-1) = 10x^9

2. f(x) = -6x^2

   Применяем правило степени:

   f'(x) = -6 * 2 * x^(2-1) = -12x

3. f(x) = -6x^5 - 4x^4 - 3x + 27

   Находим производную каждого слагаемого:

   • Производная -6x^5: -30x^4
   • Производная -4x^4: -16x^3
   • Производная -3x: -3
   • Производная 27: 0

   Таким образом:

   f'(x) = -30x^4 - 16x^3 - 3

4. f(x) = (x^4 - 3)(x^3 + 4)

   Используем правило произведения:

   f'(x) = (x^4 - 3)' * (x^3 + 4) + (x^4 - 3) * (x^3 + 4)'

   • (x^4 - 3)' = 4x^3
   • (x^3 + 4)' = 3x^2

   Следовательно:

   f'(x) = 4x^3(x^3 + 4) + (x^4 - 3)(3x^2)

5. f(x) = (3 - 2x)^7

   Здесь применяем правило цепочки:

   f'(x) = 7(3 - 2x)^(7-1) * (-2) = -14(3 - 2x)^6

6. f(x) = sin(7x)

   Также используем правило цепочки:

   f'(x) = cos(7x) * 7 = 7cos(7x)

7. f(x) = cos^2(x)

   Применяем правило цепочки:

   f'(x) = 2cos(x)(-sin(x)) = -2cos(x)sin(x)

8. f(x) = cos(x) * sin(x)

   Используем правило произведения:

   f'(x) = cos(x)' * sin(x) + cos(x) * sin(x)'

   • cos(x)' = -sin(x)
   • sin(x)' = cos(x)

   Таким образом:

   f'(x) = -sin(x)sin(x) + cos(x)cos(x) = cos^2(x) - sin^2(x)

Теперь давайте вычислим значение производной функции f(x) = x^5 - 3x^4 + x в точке x0 = -2.

Сначала найдем производную:

f'(x) = 5x^4 - 12x^3 + 1

Теперь подставим x0 = -2:

f'(-2) = 5(-2)^4 - 12(-2)^3 + 1

f'(-2) = 5(16) - 12(-8) + 1 = 80 + 96 + 1 = 177

Теперь решим неравенство f(x) = x^5 - 3x^4 + x > 0.

Для этого сначала найдем корни функции, решая уравнение x^5 - 3x^4 + x = 0:

x(x^4 - 3x^3 + 1) = 0

Корень x = 0. Далее решим уравнение x^4 - 3x^3 + 1 = 0. Это уравнение можно решить численно или графически, чтобы найти другие корни.

После нахождения корней, мы можем определить интервалы, в которых функция положительна, и провести анализ знаков на этих интервалах.

Таким образом, мы нашли производные заданных функций и вычислили значение производной в указанной точке, а также начали решать неравенство.