Найдите производную, пожалуйста, y = корень в 3 степени из (1 + cos(6x)).

Математика 10 класс Производные функций производная математика 10 класс корень из (1 + cos(6x)) нахождение производной тригонометрические функции

Чтобы найти производную функции y = корень в 3 степени из (1 + cos(6x)), мы будем использовать правило дифференцирования сложной функции и правило дифференцирования корня.

Шаги решения:

1. Запишем функцию:

   y = (1 + cos(6x))^(1/3)

2. Применим правило дифференцирования сложной функции:

   Если у нас есть функция вида u^n, то производная будет равна n * u^(n-1) * (du/dx), где u - внутренняя функция, а n - степень.

3. Определим u:

   В нашем случае u = 1 + cos(6x).

4. Найдем производную u:

   Для нахождения производной u, применим правило дифференцирования косинуса:

   • Производная cos(6x) равна -sin(6x) * 6 (по правилу цепочки).

   Таким образом, du/dx = 0 - 6sin(6x) = -6sin(6x).

5. Теперь применим правило для нахождения производной y:

   y' = (1/3) * (1 + cos(6x))^(-2/3) * (-6sin(6x)).

6. Упростим выражение:

   y' = -2 * sin(6x) * (1 + cos(6x))^(-2/3).

Таким образом, производная функции y = корень в 3 степени из (1 + cos(6x)) равна:

y' = -2 * sin(6x) / (1 + cos(6x))^(2/3).

Упростим выражение. 

y=(1 + cos(6x))^(1/3)=(2cos^2(3x))^(1/3)=2^1/3*cos^(2/3)(3x)

Найдем производную сложной функции. в нашем случае имеем степенную функцию. 

Заметим, что множитель 2^(1/3) мы можем вынести за знак производной

(u^a)'=a*x^(a-1)*du/dx;  a=2/3  u=cos(3x); 

(2/3)*(cos3x)^(-1/3)

найдем du/dx  (cos(3x))'=-sin3x*3;

Мы использовали производную косинуса (cosy)'=-siny

объединим полученные результаты

y'=-2^(1/3)*(2/3)(cos3x)^(-1/3)*3sin3x=-2^1/3*2sin3x*cos3x/(cos3x)^(4/3)=-2^(1/3)sin6x/(cos3x)^(4/3)