Как найти решение уравнения √(x^2+5x+4)=2, принимая во внимание правило определения области допустимых значений (ОДЗ)?

Математика 10 класс Уравнения с корнями решение уравнения правило ОДЗ математика 10 класс квадратное уравнение область допустимых значений Новый

Чтобы решить уравнение √(x² + 5x + 4) = 2, начнем с определения области допустимых значений (ОДЗ). Поскольку мы имеем дело с квадратным корнем, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Это значит, что:

• x² + 5x + 4 ≥ 0

Теперь найдем корни квадратного уравнения x² + 5x + 4 = 0. Для этого воспользуемся формулой корней квадратного уравнения:

• x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = 5, c = 4.

Подставляем значения:

• Дискриминант D = b² - 4ac = 5² - 4 * 1 * 4 = 25 - 16 = 9.
• Теперь находим корни:
• x₁ = (-5 + √9) / 2 = (-5 + 3) / 2 = -2.
• x₂ = (-5 - √9) / 2 = (-5 - 3) / 2 = -4.

Таким образом, корни уравнения x² + 5x + 4 = 0 - это x₁ = -2 и x₂ = -4. Теперь мы можем разложить выражение на множители:

• x² + 5x + 4 = (x + 2)(x + 4).

Теперь определим знаки выражения (x + 2)(x + 4) на промежутках, которые определяются корнями:

• Промежутки: (-∞, -4), (-4, -2), (-2, +∞).

Проверим знак в каждом из промежутков:

• Для x < -4, например, x = -5: (-5 + 2)(-5 + 4) = (-3)(-1) > 0.
• Для -4 < x < -2, например, x = -3: (-3 + 2)(-3 + 4) = (-1)(1) < 0.
• Для x > -2, например, x = 0: (0 + 2)(0 + 4) = (2)(4) > 0.

Таким образом, подкоренное выражение неотрицательно на промежутках:

• x ∈ (-∞, -4] ∪ [-2, +∞).

Теперь вернемся к нашему уравнению √(x² + 5x + 4) = 2. Возведем обе стороны в квадрат:

• x² + 5x + 4 = 4.

Переносим 4 в левую часть:

• x² + 5x + 4 - 4 = 0,
• x² + 5x = 0.

Факторизуем:

• x(x + 5) = 0.

Находим корни:

• x₁ = 0,
• x₂ = -5.

Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные корни области допустимых значений:

• x = 0: входит в ОДЗ, так как 0 > -2.
• x = -5: входит в ОДЗ, так как -5 < -4.

Таким образом, оба корня являются решениями исходного уравнения. Проверим их:

• Для x = 0: √(0² + 5*0 + 4) = √4 = 2.
• Для x = -5: √((-5)² + 5*(-5) + 4) = √(25 - 25 + 4) = √4 = 2.

Окончательно, решения уравнения √(x² + 5x + 4) = 2:

• x = 0 и x = -5.