Как найти решение уравнения |x - 3| + 2 |x + 1| = x + 5?

Математика 10 класс Уравнения с модулями решение уравнения уравнение с модулем математика 10 класс Новый

Чтобы решить уравнение |x - 3| + 2 |x + 1| = x + 5, нам нужно учитывать, что модуль может принимать разные значения в зависимости от того, какой аргумент больше нуля, а какой меньше. Для этого мы определим критические точки, где выражения внутри модулей равны нулю:

• Для |x - 3|: x - 3 = 0, значит x = 3.
• Для |x + 1|: x + 1 = 0, значит x = -1.

Таким образом, у нас есть три интервала, которые нужно рассмотреть:

• x < -1
• -1 ≤ x < 3
• x ≥ 3

Теперь мы решим уравнение на каждом из этих интервалов.

1. Интервал: x < -1

В этом интервале оба выражения под модулем отрицательны:

• |x - 3| = -(x - 3) = -x + 3
• |x + 1| = -(x + 1) = -x - 1

Подставим в уравнение:

-x + 3 + 2(-x - 1) = x + 5

Решим это уравнение:

-x + 3 - 2x - 2 = x + 5

-3x + 1 = x + 5

-3x - x = 5 - 1

-4x = 4

x = -1

Но x = -1 не принадлежит интервалу x < -1, значит здесь нет решений.

2. Интервал: -1 ≤ x < 3

В этом интервале |x - 3| остается отрицательным, а |x + 1| положительным:

• |x - 3| = -(x - 3) = -x + 3
• |x + 1| = x + 1

Подставим в уравнение:

-x + 3 + 2(x + 1) = x + 5

Решим это уравнение:

-x + 3 + 2x + 2 = x + 5

x + 5 = x + 5

Это тождество, значит в этом интервале все значения x подходят. Мы получаем, что любое значение x из интервала [-1, 3) является решением.

3. Интервал: x ≥ 3

В этом интервале оба выражения под модулем положительные:

• |x - 3| = x - 3
• |x + 1| = x + 1

Подставим в уравнение:

x - 3 + 2(x + 1) = x + 5

Решим это уравнение:

x - 3 + 2x + 2 = x + 5

3x - 1 = x + 5

3x - x = 5 + 1

2x = 6

x = 3

Это значение x = 3 принадлежит интервалу x ≥ 3, значит оно также является решением.

Итог:

Решения уравнения: [-1, 3], включая 3.