Чтобы разложить на множители выражение a³ + a - 2, мы можем использовать метод подбора корней и деления многочленов. Давайте разберем процесс шаг за шагом.

1. Найдем возможные рациональные корни. По теореме о рациональных корнях, возможные корни многочлена можно найти среди делителей свободного члена. В нашем случае свободный член -2. Его делители: ±1, ±2.
2. Проверим каждый из возможных корней. Подставим их в выражение:
• Для a = 1:

  a³ + a - 2 = 1³ + 1 - 2 = 1 + 1 - 2 = 0. 1 является корнем.

• Для a = -1:

  a³ + a - 2 = (-1)³ + (-1) - 2 = -1 - 1 - 2 = -4. Не является корнем.

• Для a = 2:

  a³ + a - 2 = 2³ + 2 - 2 = 8 + 2 - 2 = 8. Не является корнем.

• Для a = -2:

  a³ + a - 2 = (-2)³ + (-2) - 2 = -8 - 2 - 2 = -12. Не является корнем.

3. Теперь, когда мы нашли корень a = 1, можем выполнить деление многочлена. Мы будем делить a³ + a - 2 на (a - 1) с помощью деления многочленов:
• Делим a³ на a: получаем a².
• Умножаем (a - 1) на a²: получаем a³ - a².
• Вычитаем: (a³ + a - 2) - (a³ - a²) = a² + a - 2.
• Теперь делим a² на a: получаем a.
• Умножаем (a - 1) на a: получаем a² - a.
• Вычитаем: (a² + a - 2) - (a² - a) = 2a - 2.
• Делим 2a на a: получаем 2.
• Умножаем (a - 1) на 2: получаем 2a - 2.
• Вычитаем: (2a - 2) - (2a - 2) = 0.
4. Теперь мы можем записать результат деления: a³ + a - 2 = (a - 1)(a² + a + 2).
5. Проверим, можно ли разложить a² + a + 2. Мы можем использовать дискриминант:
• Дискриминант D = b² - 4ac = 1² - 4 * 1 * 2 = 1 - 8 = -7.
• Так как дискриминант отрицательный, a² + a + 2 не имеет действительных корней и не может быть разложен на множители.

Таким образом, окончательный ответ: a³ + a - 2 = (a - 1)(a² + a + 2).