Для решения данных неравенств будем использовать свойства логарифмов и неравенств. Разберем каждое неравенство по отдельности.

Шаг 1: Используем свойство логарифмов, которое гласит, что сумма логарифмов равна логарифму произведения:

• log₂(x - 2) + log₂(x - 1) = log₂((x - 2)(x - 1))

Шаг 2: Перепишем неравенство:

• log₂((x - 2)(x - 1)) > 1

Шаг 3: Переведем неравенство из логарифмической формы в показательную:

• (x - 2)(x - 1) > 2¹
• (x - 2)(x - 1) > 2

Шаг 4: Раскроем скобки:

• x² - 3x + 2 > 2

Шаг 5: Переносим 2 в левую часть:

• x² - 3x > 0

Шаг 6: Факторизуем левую часть:

• x(x - 3) > 0

Шаг 7: Находим нули: x = 0 и x = 3. Теперь определим знаки на интервалах:

• Интервалы: (-∞, 0), (0, 3), (3, +∞)
• Тестируем значения:
• Для x = -1: (-1)(-4) > 0 (истинно)
• Для x = 1: (1)(-2) < 0 (ложно)
• Для x = 4: (4)(1) > 0 (истинно)
• Таким образом, решение: x < 0 или x > 3.

Шаг 8: Учитываем ограничения логарифмов: x - 2 > 0 и x - 1 > 0, значит x > 2.

Итак, окончательное решение: x > 3.

Шаг 1: Используем свойства логарифмов:

• lg x + lg(x + 1) = lg(x(x + 1))

Шаг 2: Переписываем неравенство:

• lg(x(x + 1)) < lg 3 + 1

Шаг 3: Поскольку 1 = lg 10, преобразуем неравенство:

• lg(x(x + 1)) < lg(10 * 3)
• lg(x(x + 1)) < lg 30

Шаг 4: Переводим из логарифмической формы в показательную:

• x(x + 1) < 30

Шаг 5: Раскроем скобки:

• x² + x < 30

Шаг 6: Переносим 30 в левую часть:

• x² + x - 30 < 0

Шаг 7: Факторизуем:

• (x - 5)(x + 6) < 0

Шаг 8: Находим нули: x = 5 и x = -6. Определяем знаки на интервалах:

• Интервалы: (-∞, -6), (-6, 5), (5, +∞)
• Тестируем значения:
• Для x = -7: (-)(-) > 0 (истинно)
• Для x = 0: (-)(+) < 0 (ложно)
• Для x = 6: (+)(+) > 0 (истинно)
• Таким образом, решение: -6 < x < 5.

Шаг 9: Учитываем ограничения логарифмов: x > 0 и x + 1 > 0, значит x > 0.

Итак, окончательное решение: 0 < x < 5.

Таким образом, мы получили решения для обоих неравенств:

• Для первого неравенства: x > 3.
• Для второго неравенства: 0 < x < 5.