Как решить систему уравнений методом подстановки и представить графическую интерпретацию для следующих уравнений:

• X² + y² = 25
• X * y = 12

Математика 10 класс Системы уравнений система уравнений метод подстановки графическая интерпретация уравнения X² + y² = 25 уравнение X * y = 12 решение системы уравнений Новый

Для решения данной системы уравнений методом подстановки, начнем с того, что у нас есть два уравнения:

1. X² + y² = 25
2. X * y = 12

Первым шагом будет выразить одну переменную через другую из второго уравнения. Из уравнения X * y = 12 выразим y:

y = 12 / X

Теперь подставим это значение y в первое уравнение:

X² + (12 / X)² = 25

Теперь упростим уравнение:

X² + 144 / X² = 25

Умножим всё уравнение на X², чтобы избавиться от дроби:

X^4 - 25X² + 144 = 0

Теперь мы видим, что это квадратное уравнение относительно Z = X². Подставим Z:

Z² - 25Z + 144 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b² - 4ac = (-25)² - 4 * 1 * 144 = 625 - 576 = 49

Так как дискриминант положителен, у нас два различных корня:

Z1 = (25 + √49) / 2 = (25 + 7) / 2 = 16

Z2 = (25 - √49) / 2 = (25 - 7) / 2 = 9

Теперь вернемся к переменной X:

X² = 16 или X² = 9

Следовательно, у нас есть:

• X = ±4 (из X² = 16)
• X = ±3 (из X² = 9)

Теперь подставим найденные значения X обратно в уравнение y = 12 / X, чтобы найти соответствующие значения y:

• Если X = 4, то y = 12 / 4 = 3
• Если X = -4, то y = 12 / -4 = -3
• Если X = 3, то y = 12 / 3 = 4
• Если X = -3, то y = 12 / -3 = -4

Таким образом, мы получили четыре пары решений:

• (4, 3)
• (-4, -3)
• (3, 4)
• (-3, -4)

Теперь представим графическую интерпретацию. Первое уравнение X² + y² = 25 представляет собой окружность с центром в точке (0, 0) и радиусом 5. Второе уравнение X * y = 12 представляет собой гиперболу.

На графике мы можем нарисовать окружность и гиперболу, а точки их пересечения (4, 3), (-4, -3), (3, 4) и (-3, -4) будут решениями нашей системы уравнений.

Таким образом, мы успешно решили систему уравнений методом подстановки и представили графическую интерпретацию.