Как решить систему уравнений:

1. X^3 - y^3 = 19(x-y)
2. x^3 + y^3 = 7(x+y)

Математика 10 класс Системы уравнений решение системы уравнений математика уравнения x^3 y^3 алгебра математические задачи методы решения кубические уравнения система уравнений Новый

Чтобы решить систему уравнений:

X^3 - y^3 = 19(x - y)

X^3 + y^3 = 7(x + y)

мы можем использовать несколько алгебраических преобразований и свойства кубов.

Во-первых, заметим, что у нас есть два уравнения, которые содержат выражения для кубов. Мы можем использовать формулы разности и суммы кубов:

• X^3 - Y^3 = (X - Y)(X^2 + XY + Y^2)
• X^3 + Y^3 = (X + Y)(X^2 - XY + Y^2)

Теперь давайте начнем с первого уравнения:

1. Перепишем его, используя формулу разности кубов:

X^3 - Y^3 = (X - Y)(X^2 + XY + Y^2) = 19(X - Y)

2. Если X ≠ Y, мы можем разделить обе стороны на (X - Y):

X^2 + XY + Y^2 = 19

3. Если X = Y, то подставив в первое уравнение, мы получим 0 = 0, что означает, что X и Y могут быть любыми равными числами. Однако, давайте продолжим с X ≠ Y.

Теперь перейдем ко второму уравнению:

1. Используем формулу суммы кубов:

X^3 + Y^3 = (X + Y)(X^2 - XY + Y^2) = 7(X + Y)

2. Если X ≠ -Y, можем разделить обе стороны на (X + Y):

X^2 - XY + Y^2 = 7

Теперь у нас есть две новые системы уравнений:

• X^2 + XY + Y^2 = 19
• X^2 - XY + Y^2 = 7

Теперь мы можем вычесть второе уравнение из первого:

1. (X^2 + XY + Y^2) - (X^2 - XY + Y^2) = 19 - 7
2. Сокращаем:

2XY = 12

3. Таким образом, XY = 6.

Теперь подставим значение XY = 6 в одно из уравнений. Например, в первое:

1. X^2 + 6 + Y^2 = 19
2. X^2 + Y^2 = 13.

Теперь у нас есть система:

• X^2 + Y^2 = 13
• XY = 6

Мы можем решить эту систему, используя формулу для суммы и произведения корней:

• Сумма корней (X + Y) = S
• Произведение корней (XY) = P

Зная, что:

• S^2 = X^2 + Y^2 + 2XY

Подставим значения:

1. S^2 = 13 + 2*6 = 25
2. Следовательно, S = 5 или S = -5.

Теперь у нас есть два случая:

• 1. X + Y = 5
• 2. X + Y = -5

Теперь мы можем решить каждую из этих систем:

1. Для первого случая: X + Y = 5 и XY = 6.
2. Это уравнение можно представить как X^2 - 5X + 6 = 0.
3. Решив его, находим корни: X = 2, Y = 3 или X = 3, Y = 2.

1. Для второго случая: X + Y = -5 и XY = 6.
2. Аналогично, у нас будет уравнение X^2 + 5X + 6 = 0.
3. Решив его, находим корни: X = -2, Y = -3 или X = -3, Y = -2.

Таким образом, мы получили следующие решения:

• (2, 3)
• (3, 2)
• (-2, -3)
• (-3, -2)

Это и есть все возможные решения данной системы уравнений.