Как решить систему уравнений: x + y + z = 1, 3x - 2y + z = -3, 5x + y - 2z = 11, если все уравнения объединены одной фигурной скобкой?

Математика 10 класс Системы уравнений система уравнений решение уравнений математика 10 класс фигурная скобка x y z методы решения линейные уравнения Новый

Чтобы решить систему уравнений, состоящую из трех уравнений с тремя переменными, мы можем использовать метод подстановки или метод исключения. В данном случае я объясню метод исключения, так как он более наглядный для данной системы.

Итак, у нас есть следующая система уравнений:

• 1) x + y + z = 1
• 2) 3x - 2y + z = -3
• 3) 5x + y - 2z = 11

Шаг 1: Выразим одну переменную через другие. Начнем с первого уравнения. Выразим z:

z = 1 - x - y

Шаг 2: Подставим выражение для z во второе и третье уравнения:

• Подставим в 2-е уравнение:
• 3x - 2y + (1 - x - y) = -3

Упрощаем это уравнение:

• 3x - 2y + 1 - x - y = -3
• (3x - x) + (-2y - y) + 1 = -3
• 2x - 3y + 1 = -3
• 2x - 3y = -4
• 2x - 3y = -4 (назовем это уравнение 4)

• Теперь подставим в 3-е уравнение:
• 5x + y - 2(1 - x - y) = 11

Упрощаем это уравнение:

• 5x + y - 2 + 2x + 2y = 11
• (5x + 2x) + (y + 2y) - 2 = 11
• 7x + 3y - 2 = 11
• 7x + 3y = 13
• 7x + 3y = 13 (назовем это уравнение 5)

Шаг 3: Теперь у нас есть две новых уравнения (4 и 5):

• 4) 2x - 3y = -4
• 5) 7x + 3y = 13

Теперь мы можем решить эту систему из двух уравнений с двумя переменными. Сложим уравнения (4) и (5), чтобы избавиться от y:

Сначала выразим y из уравнения (4):

y = (2x + 4)/3

Подставим это значение y в уравнение (5):

7x + 3((2x + 4)/3) = 13

Упрощаем:

• 7x + (2x + 4) = 13
• 9x + 4 = 13
• 9x = 9
• x = 1

Шаг 4: Теперь подставим x = 1 обратно в уравнение для y:

y = (2(1) + 4)/3 = 6/3 = 2

y = 2

Шаг 5: Теперь найдем z, подставив значения x и y в выражение для z:

z = 1 - 1 - 2 = -2

z = -2

Итак, мы получили следующие значения:

• x = 1
• y = 2
• z = -2

Шаг 6: Проверим найденные значения, подставив их обратно в исходные уравнения:

• 1) 1 + 2 - 2 = 1 (верно)
• 2) 3(1) - 2(2) - 2 = -3 (верно)
• 3) 5(1) + 2 - 2(-2) = 11 (верно)

Таким образом, система уравнений решена, и ее решения: x = 1, y = 2, z = -2.