Как решить уравнение log2(x+2)=log2(x^2+x-7)?

Математика 10 класс Логарифмы решение уравнения логарифмы алгебра математика 10 класс log2 x+2 x^2+x-7 Новый

Для решения уравнения log2(x+2) = log2(x^2+x-7) мы воспользуемся свойством логарифмов, которое гласит, что если логарифмы равны, то их аргументы также равны, при условии, что они положительны.

1. Запишем равенство аргументов:

Таким образом, мы можем записать:

x + 2 = x^2 + x - 7

2. Переносим все члены в одну сторону:

Переносим x + 2 в правую часть уравнения:

0 = x^2 + x - 7 - (x + 2)

Упростим это выражение:

0 = x^2 + x - x - 7 - 2

0 = x^2 - 9

3. Приведем уравнение к стандартному виду:

Теперь у нас есть квадратное уравнение:

x^2 - 9 = 0

4. Решим квадратное уравнение:

Это уравнение можно решить, используя формулу разности квадратов:

(x - 3)(x + 3) = 0

Следовательно, у нас есть два возможных решения:

• x - 3 = 0 → x = 3
• x + 3 = 0 → x = -3
5. Проверим, какие из найденных решений подходят:

Мы должны проверить, чтобы аргументы логарифмов были положительными.

• Для x = 3:
  x + 2 = 3 + 2 = 5 (положительное)
  x^2 + x - 7 = 3^2 + 3 - 7 = 9 + 3 - 7 = 5 (положительное)
• Для x = -3:
  x + 2 = -3 + 2 = -1 (отрицательное)
  x^2 + x - 7 = (-3)^2 + (-3) - 7 = 9 - 3 - 7 = -1 (отрицательное)

Таким образом, x = -3 не подходит, так как аргументы логарифмов должны быть положительными.

6. Запишем окончательное решение:

Единственным подходящим решением является x = 3.

Ответ: x = 3.