Как решить уравнение log2(x) + log2(x-1) = 2?

Математика 10 класс Логарифмы уравнение логарифмы решение уравнения математика log2 x математические задачи Новый

Чтобы решить уравнение log2(x) + log2(x-1) = 2, мы воспользуемся свойством логарифмов, которое гласит, что сумма логарифмов равна логарифму произведения. То есть:

• log2(a) + log2(b) = log2(a * b)

Применим это свойство к нашему уравнению:

log2(x * (x - 1)) = 2

Теперь нам нужно избавиться от логарифма. Для этого мы воспользуемся определением логарифма. Если log2(y) = z, то y = 2^z. В нашем случае это будет:

x * (x - 1) = 2^2

Так как 2^2 = 4, мы получаем:

x * (x - 1) = 4

Теперь раскроем скобки:

x^2 - x = 4

Переносим 4 на левую сторону уравнения:

x^2 - x - 4 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта. Дискриминант D определяется по формуле:

D = b^2 - 4ac

В нашем уравнении a = 1, b = -1, c = -4. Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

D = (-1)^2 - 4 * 1 * (-4) = 1 + 16 = 17

Теперь находим корни уравнения по формуле:

x = (-b ± √D) / (2a)

Подставим значения:

x = (1 ± √17) / 2

Теперь найдем два возможных значения для x:

1. x1 = (1 + √17) / 2
2. x2 = (1 - √17) / 2

Теперь нужно проверить, какие из найденных значений подходят для исходного уравнения. Заметим, что log2(x) и log2(x-1) определены только для x > 1. Рассмотрим оба корня:

• x1 = (1 + √17) / 2 - это значение больше 1, так как √17 примерно равно 4.123, следовательно, x1 примерно равно 2.061, что подходит.
• x2 = (1 - √17) / 2 - это значение будет отрицательным, так как 1 - √17 < 0. Следовательно, x2 не подходит.

Таким образом, единственным решением уравнения является:

x = (1 + √17) / 2