Как решить уравнение log2(x) + log2(x-1) = 2?
Математика 10 класс Логарифмы уравнение логарифмы решение уравнения математика log2 x математические задачи Новый
Чтобы решить уравнение log2(x) + log2(x-1) = 2, мы воспользуемся свойством логарифмов, которое гласит, что сумма логарифмов равна логарифму произведения. То есть:
Применим это свойство к нашему уравнению:
log2(x * (x - 1)) = 2
Теперь нам нужно избавиться от логарифма. Для этого мы воспользуемся определением логарифма. Если log2(y) = z, то y = 2^z. В нашем случае это будет:
x * (x - 1) = 2^2
Так как 2^2 = 4, мы получаем:
x * (x - 1) = 4
Теперь раскроем скобки:
x^2 - x = 4
Переносим 4 на левую сторону уравнения:
x^2 - x - 4 = 0
Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта. Дискриминант D определяется по формуле:
D = b^2 - 4ac
В нашем уравнении a = 1, b = -1, c = -4. Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:
D = (-1)^2 - 4 * 1 * (-4) = 1 + 16 = 17
Теперь находим корни уравнения по формуле:
x = (-b ± √D) / (2a)
Подставим значения:
x = (1 ± √17) / 2
Теперь найдем два возможных значения для x:
Теперь нужно проверить, какие из найденных значений подходят для исходного уравнения. Заметим, что log2(x) и log2(x-1) определены только для x > 1. Рассмотрим оба корня:
Таким образом, единственным решением уравнения является:
x = (1 + √17) / 2