Чтобы решить уравнение x² - 4x ≡ 5 (mod m), сначала нужно привести его к стандартному виду. Давайте разберем это уравнение шаг за шагом.

1. Переносим 5 на левую сторону уравнения:
   • x² - 4x - 5 ≡ 0 (mod m)
2. Теперь мы имеем квадратное уравнение. Чтобы его решить, найдем корни с помощью дискриминанта. Для этого используем формулу:
   • D = b² - 4ac, где a = 1, b = -4, c = -5.
3. Подставляем значения в формулу для дискриминанта:
   • D = (-4)² - 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36.
4. Теперь находим корни уравнения с помощью формулы корней квадратного уравнения:
   • x₁ = (−b + √D) / (2a)
   • x₂ = (−b - √D) / (2a)
5. Подставляем значения:
   • x₁ = (4 + √36) / 2 = (4 + 6) / 2 = 10 / 2 = 5
   • x₂ = (4 - √36) / 2 = (4 - 6) / 2 = -2 / 2 = -1
6. Таким образом, у нас есть два решения: x₁ = 5 и x₂ = -1.
7. Теперь, учитывая, что мы работаем по модулю, нужно проверить, в каком диапазоне находятся наши решения. Если m - это модуль, то мы можем записать:
   • x₁ ≡ 5 (mod m)
   • x₂ ≡ -1 (mod m)

В зависимости от значения m, эти решения могут принимать различные формы. Например, если m = 6, то:

• x₁ ≡ 5 (mod 6) = 5
• x₂ ≡ -1 (mod 6) = 5 (так как -1 + 6 = 5)

Таким образом, окончательные решения уравнения x² - 4x ≡ 5 (mod m) будут зависеть от конкретного значения m, но в общем случае у нас есть два корня: x = 5 и x = -1.