Какое трицифровое число имеет сумму цифр, равную 17, и сумму квадратов цифр, равную 109, если при вычитании 495 из этого числа получается число, записанное теми же цифрами в обратном порядке?

Математика 10 класс Системы уравнений трицифровое число Сумма цифр сумма квадратов вычитание обратный порядок математическая задача решение уравнения Новый

Для решения этой задачи давайте обозначим трицифровое число как abc, где a, b и c - это его цифры. Таким образом, мы можем записать следующие условия:

• Сумма цифр: a + b + c = 17
• Сумма квадратов цифр: a² + b² + c² = 109
• Число abc - 495 = cba, где cba - это число, записанное теми же цифрами в обратном порядке.

Теперь давайте разберем каждое из условий:

1. Сумма цифр: Сумма цифр равна 17. Это значит, что все цифры должны быть от 0 до 9, и их сумма должна составлять 17.
2. Сумма квадратов цифр: Сумма квадратов равна 109. Это также накладывает ограничения на возможные значения цифр.
3. Условие с вычитанием: Запишем это условие более детально. Если abc - это число, то его можно выразить как 100a + 10b + c. Тогда у нас есть:
4. 100a + 10b + c - 495 = 100c + 10b + a

Теперь упростим это уравнение:

1. Переносим все члены в одну сторону:
2. 100a + 10b + c - 100c - 10b - a - 495 = 0
3. Упрощаем:
4. 99a - 99c - 495 = 0
5. Делим всё на 99:
6. a - c = 5

Теперь у нас есть система уравнений:

• 1) a + b + c = 17
• 2) a² + b² + c² = 109
• 3) a - c = 5

Теперь выразим c через a из третьего уравнения:

c = a - 5

Подставим это значение в первое уравнение:

a + b + (a - 5) = 17

Упрощаем:

2a + b - 5 = 17

Таким образом, 2a + b = 22 (это уравнение 4).

Теперь подставим значение c в уравнение суммы квадратов:

a² + b² + (a - 5)² = 109

Раскроем скобки:

a² + b² + (a² - 10a + 25) = 109

Упрощаем:

2a² + b² - 10a + 25 = 109

Таким образом, 2a² + b² - 10a = 84 (это уравнение 5).

Теперь у нас есть система из двух уравнений (4) и (5):

• 1) 2a + b = 22
• 2) 2a² + b² - 10a = 84

Теперь выразим b из уравнения (4):

b = 22 - 2a

Подставим это значение в уравнение (5):

2a² + (22 - 2a)² - 10a = 84

Раскроем скобки:

2a² + (484 - 88a + 4a²) - 10a = 84

Упрощаем:

6a² - 98a + 400 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b² - 4ac = (-98)² - 4 * 6 * 400 = 9604 - 9600 = 4

Теперь находим корни:

a = (98 ± √4) / (2 * 6) = (98 ± 2) / 12

Находим два значения:

a1 = 100 / 12 = 8.33 (не подходит, так как a - целое число)

a2 = 96 / 12 = 8

Теперь подставим значение a = 8 обратно в уравнение для b:

b = 22 - 2 * 8 = 6

Теперь найдем c:

c = a - 5 = 8 - 5 = 3

Таким образом, мы получили цифры: a = 8, b = 6, c = 3. Это значит, что искомое число - 863.

Теперь проверим условия:

• Сумма цифр: 8 + 6 + 3 = 17 (все верно)
• Сумма квадратов: 8² + 6² + 3² = 64 + 36 + 9 = 109 (все верно)
• Проверим вычитание: 863 - 495 = 368, а 368 - это 863, записанное в обратном порядке (все верно)

Таким образом, искомое трицифровое число - 863.