Какое время нужно, чтобы три насоса вместе наполнили бассейн, если первый и второй насосы делают это за 21 минуту, второй и третий за 24 минуты, а первый и третий за 28 минут?

Математика 10 класс Системы уравнений время насосы бассейн наполнение задачи на скорость математика 10 класс Новый

Для решения задачи начнем с обозначения производительности насосов. Пусть:

• P1 - производительность первого насоса (бассейн за минуту)
• P2 - производительность второго насоса
• P3 - производительность третьего насоса

Согласно условиям задачи, мы можем записать следующие уравнения:

• Первый и второй насосы вместе наполняют бассейн за 21 минуту: P1 + P2 = 1/21
• Второй и третий насосы вместе наполняют бассейн за 24 минуты: P2 + P3 = 1/24
• Первый и третий насосы вместе наполняют бассейн за 28 минут: P1 + P3 = 1/28

Теперь у нас есть система из трех уравнений. Мы можем выразить каждую производительность через другие:

1. Из первого уравнения: P1 = 1/21 - P2
2. Из второго уравнения: P3 = 1/24 - P2

Теперь подставим P1 и P3 из этих уравнений в третье уравнение:

(1/21 - P2) + (1/24 - P2) = 1/28

Упростим это уравнение:

• 1/21 + 1/24 - 2P2 = 1/28

Теперь найдем общий знаменатель для дробей. Общий знаменатель для 21, 24 и 28 равен 504:

• 1/21 = 24/504
• 1/24 = 21/504
• 1/28 = 18/504

Подставим эти значения в уравнение:

(24/504 + 21/504 - 2P2 = 18/504)

Сложим дроби:

(45/504 - 2P2 = 18/504)

Теперь перенесем 45/504 на правую сторону:

-2P2 = 18/504 - 45/504

Упростим правую часть:

-2P2 = -27/504

Разделим обе стороны на -2:

P2 = 27/1008

Теперь найдем P1 и P3:

P1 = 1/21 - P2 = 1/21 - 27/1008 = (48 - 27) / 1008 = 21/1008 = 7/336

P3 = 1/24 - P2 = 1/24 - 27/1008 = (42 - 27) / 1008 = 15/1008 = 5/336

Теперь мы знаем производительности всех насосов:

• P1 = 7/336
• P2 = 27/1008
• P3 = 5/336

Теперь найдем производительность всех трех насосов вместе:

P1 + P2 + P3 = 7/336 + 27/1008 + 5/336

Приведем дроби к общему знаменателю (1008):

• P1 = 21/1008
• P2 = 27/1008
• P3 = 15/1008

Теперь сложим:

P1 + P2 + P3 = 21/1008 + 27/1008 + 15/1008 = 63/1008 = 1/16

Это означает, что три насоса вместе наполняют бассейн за 16 минут. Таким образом, ответ:

16 минут