Какова длина сторон прямоугольника, если при увеличении каждой стороны на 3 см его площадь увеличивается на 45 квадратных см, а при увеличении двух противоположных сторон на 4 см и уменьшении двух других на 5 см площадь уменьшается на 17 квадратных см?

Математика 10 класс Системы уравнений длина сторон прямоугольника площадь прямоугольника увеличение площади уменьшение площади задача по математике решение задачи геометрия алгебра прямоугольник математические уравнения Новый

Давайте обозначим длины сторон прямоугольника как a и b. Теперь рассмотрим условия задачи поэтапно.

Первое условие: При увеличении каждой стороны на 3 см площадь увеличивается на 45 квадратных см.

• Исходная площадь прямоугольника: P = a * b.
• После увеличения сторон на 3 см: P' = (a + 3) * (b + 3).
• По условию задачи: P' - P = 45.

Подставим выражения для P и P':

• (a + 3)(b + 3) - ab = 45

Раскроем скобки:

• ab + 3a + 3b + 9 - ab = 45
• 3a + 3b + 9 = 45

Упростим уравнение:

• 3a + 3b = 36
• a + b = 12 (1)

Второе условие: При увеличении двух противоположных сторон на 4 см и уменьшении двух других на 5 см площадь уменьшается на 17 квадратных см.

• Новая площадь: P'' = (a + 4)(b - 5).
• По условию задачи: P - P'' = 17.

Подставим выражения:

• ab - (a + 4)(b - 5) = 17

Раскроем скобки:

• ab - (ab - 5a + 4b - 20) = 17

Упростим уравнение:

• ab - ab + 5a - 4b + 20 = 17
• 5a - 4b + 20 = 17
• 5a - 4b = -3 (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

• (1) a + b = 12
• (2) 5a - 4b = -3

Решим систему. Из первого уравнения выразим b:

• b = 12 - a

Подставим это значение во второе уравнение:

• 5a - 4(12 - a) = -3

Раскроем скобки:

• 5a - 48 + 4a = -3

Соберем все a в одной части:

• 9a - 48 = -3
• 9a = 45
• a = 5

Теперь подставим значение a в первое уравнение, чтобы найти b:

• b = 12 - 5 = 7

Ответ: Длины сторон прямоугольника равны 5 см и 7 см.