Какова длина вектора AB, если высота правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равна 4, а боковое ребро SA равно 12?

Математика 10 класс Векторы и их свойства длина вектора AB высота пирамиды боковое ребро SA правильная четырехугольная пирамида задачи по геометрии 10 класс Новый

Для нахождения длины вектора AB в правильной четырёхугольной пирамиде SABCD, давайте сначала разберёмся с её свойствами.

Правильная четырёхугольная пирамида имеет квадратное основание ABCD, а вершина S находится над центром этого основания. Высота пирамиды (от вершины S до центра основания) равна 4, а боковое ребро SA равно 12.

Сначала определим координаты точек. Пусть:

• Точка S (0, 0, 4) - вершина пирамиды, так как высота равна 4.
• Точки A, B, C, D находятся в плоскости z = 0 (основание пирамиды). Поскольку основание квадратное, можно взять:
• Точка A (-a, -a, 0)
• Точка B (a, -a, 0)
• Точка C (a, a, 0)
• Точка D (-a, a, 0)

Теперь найдём длину бокового ребра SA:

Длина бокового ребра SA можно найти по формуле расстояния между двумя точками в пространстве:

Длина SA = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²),

где (x1, y1, z1) - координаты точки S, а (x2, y2, z2) - координаты точки A.

Подставим значения:

• (x1, y1, z1) = (0, 0, 4)
• (x2, y2, z2) = (-a, -a, 0)

Теперь подставим в формулу:

SA = √((-a - 0)² + (-a - 0)² + (0 - 4)²) = √(a² + a² + 16) = √(2a² + 16).

Мы знаем, что SA = 12, поэтому:

√(2a² + 16) = 12.

Теперь возведём обе стороны уравнения в квадрат:

2a² + 16 = 144.

Теперь решим это уравнение:

2a² = 144 - 16 = 128.

a² = 128 / 2 = 64.

a = √64 = 8.

Теперь мы знаем, что длина стороны квадрата основания равна 2a = 16.

Теперь можем найти длину вектора AB:

Вектор AB соединяет точки A и B. Используя координаты:

• Точка A (-8, -8, 0)
• Точка B (8, -8, 0)

Длина вектора AB также вычисляется по формуле расстояния:

AB = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²).

Подставляем значения:

AB = √((8 - (-8))² + (-8 - (-8))² + (0 - 0)²) = √((8 + 8)² + 0 + 0) = √(16²) = 16.

Таким образом, длина вектора AB равна 16.