Вариант 4

1. Даны точки А (1; 5), B(-3; 2) и C (2; 3). Найдите:

1. координаты векторов СА и СВ;
2. модули векторов СА и СВ;
3. координаты вектора DM = 3CA-4CB;
4. скалярное произведение векторов СА и СВ;
5. косинус угла между векторами СА и СВ.

2. Начертите треугольник DEF. Постройте вектор:

1. DE + EF;
2. ED - EF;
3. FE + FD.

3. Даны векторы а (х; 10) и b (-5; 4). При каком значении х векторы а и b:

1. коллинеарны;
2. перпендикулярны?

4. Найдите косинус угла между векторами m = 3а - b и n = a + 4b, если

|b| и |a| = |b| = 1

⚠️Решите пожалуйста ⚠️

Математика 10 класс Векторы и их свойства координаты векторов модули векторов скалярное произведение косинус угла векторов коллинеарные векторы перпендикулярные векторы векторные операции треугольник DEF вектор DE вектор EF вектор ED вектор FE векторы a и b Новый

Давайте последовательно решим все задачи, начиная с первой.

1. Найдите координаты векторов CA и CB, их модули, координаты вектора DM, скалярное произведение и косинус угла между векторами.

Сначала найдем векторы CA и CB. Вектор CA определяется как разность координат точки C и точки A:

• CA = C - A = (2, 3) - (1, 5) = (2 - 1, 3 - 5) = (1, -2)

Теперь найдем вектор CB:

• CB = C - B = (2, 3) - (-3, 2) = (2 + 3, 3 - 2) = (5, 1)

Теперь найдем модули векторов CA и CB:

• |CA| = √(1^2 + (-2)^2) = √(1 + 4) = √5
• |CB| = √(5^2 + 1^2) = √(25 + 1) = √26

Теперь найдем координаты вектора DM = 3CA - 4CB:

• DM = 3(1, -2) - 4(5, 1) = (3*1, 3*(-2)) - (4*5, 4*1) = (3, -6) - (20, 4) = (3 - 20, -6 - 4) = (-17, -10)

Теперь найдем скалярное произведение векторов CA и CB:

• CA · CB = (1, -2) · (5, 1) = 1*5 + (-2)*1 = 5 - 2 = 3

Теперь найдем косинус угла между векторами CA и CB:

• cos(θ) = (CA · CB) / (|CA| * |CB|) = 3 / (√5 * √26) = 3 / √(130)

2. Начертите треугольник DEF и постройте векторы:

Пусть D, E и F - это произвольные точки на плоскости. Теперь найдем векторы:

• DE + EF = (E - D) + (F - E) = F - D
• ED - EF = (D - E) - (F - E) = D - F
• FE + FD = (E - F) + (D - F) = D + E - 2F

Эти векторы можно нарисовать на координатной плоскости, если задать конкретные координаты для точек D, E и F.

3. Даны векторы a (x; 10) и b (-5; 4). При каком значении x векторы a и b коллинеарны и перпендикулярны?

Векторы коллинеарны, если их соотношение равно:

• (x / -5) = (10 / 4) ⇒ x = -5 * (10 / 4) = -12.5

Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю:

• (x, 10) · (-5, 4) = x * (-5) + 10 * 4 = -5x + 40 = 0 ⇒ -5x = -40 ⇒ x = 8

4. Найдите косинус угла между векторами m = 3a - b и n = a + 4b, если |b| и |a| = |b| = 1.

Сначала найдем векторы m и n:

• m = 3a - b
• n = a + 4b

Теперь найдем скалярное произведение m и n:

• m · n = (3a - b) · (a + 4b) = 3a · a + 12a · b - b · a - 4b · b
• Поскольку |a| = |b| = 1, то a · a = 1 и b · b = 1.
• Таким образом, m · n = 3*1 + 12a · b - b · a - 4*1 = 3 + 12a · b - a · b - 4 = -1 + 11a · b

Теперь найдем модуль векторов m и n:

• |m| = √((3a - b) · (3a - b)) = 9|a|^2 - 6(a · b) + |b|^2 = 9 - 6(a · b) + 1 = 10 - 6(a · b)
• |n| = √((a + 4b) · (a + 4b)) = |a|^2 + 8(a · b) + 16|b|^2 = 1 + 8(a · b) + 16 = 17 + 8(a · b)

Теперь найдем косинус угла между векторами m и n:

• cos(θ) = (m · n) / (|m| * |n|) = (11a · b - 1) / √((10 - 6a · b)(17 + 8a · b))

Таким образом, мы нашли все необходимые значения. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно что-то уточнить, не стесняйтесь спрашивать!