Вариант 3

1. Даны точки А (3; -2), B (1; -1) и C (-1; 1). Найдите:

1) координаты векторов ВА и ВС;

3) координаты вектора МР = 4BА-ВС;

2) модули векторов ВА и ВС

4) скалярное произведение векторов ВА и ВС;

5) косинус угла между векторами ВА и ВС. 2. Начертите треугольник АВС. Постройте вектор:

1) CA + AB;

2) BC- BA; 3) BA + BC.

3. Даны векторы m(2;p) и п (9;-3). При каком значении р векторы тип: 1) коллинеарны; 2) перпендикулярны?

4. Найдите косинус угла между векторами b =6m-n и c = m + 3 n, если

min ulml-inler

Математика 10 класс Векторы и их свойства координаты векторов модуль вектора скалярное произведение косинус угла между векторами векторы в математике треугольник АВС коллинеарные векторы перпендикулярные векторы векторная алгебра задачи по векторной геометрии Новый

Давайте поэтапно решим поставленные задачи.

1. Найдем координаты векторов ВА и ВС:

• Вектор ВА можно найти, вычитая координаты точки A из координат точки B:
• ВА = B - A = (1 - 3; -1 - (-2)) = (-2; 1).
• Вектор ВС можно найти, вычитая координаты точки C из координат точки B:
• ВС = C - B = (-1 - 1; 1 - (-1)) = (-2; 2).

2. Найдем координаты вектора МР = 4BA - BC:

• Сначала найдем вектор BA:
• BA = -ВА = (2; -1).
• Теперь подставим векторы в формулу:
• МР = 4BA - ВС = 4(2; -1) - (-2; 2) = (8; -4) - (-2; 2) = (8 + 2; -4 - 2) = (10; -6).

3. Найдем модули векторов ВА и ВС:

• Модуль вектора ВА:
• |ВА| = √((-2)² + 1²) = √(4 + 1) = √5.
• Модуль вектора ВС:
• |ВС| = √((-2)² + 2²) = √(4 + 4) = √8 = 2√2.

4. Найдем скалярное произведение векторов ВА и ВС:

• Скалярное произведение вычисляется как:
• ВА • ВС = (-2) * (-2) + 1 * 2 = 4 + 2 = 6.

5. Найдем косинус угла между векторами ВА и ВС:

• Косинус угла между векторами можно найти по формуле:
• cos(θ) = (ВА • ВС) / (|ВА| * |ВС|).
• Подставим найденные значения:
• cos(θ) = 6 / (√5 * 2√2) = 6 / (2√10) = 3 / √10.

2. Построим треугольник ABC и векторы:

Начертите треугольник A(3; -2), B(1; -1), C(-1; 1). Далее строим векторы:

• 1) CA + AB:
• CA = A - C = (3 - (-1); -2 - 1) = (4; -3),
• AB = B - A = (1 - 3; -1 - (-2)) = (-2; 1),
• CA + AB = (4; -3) + (-2; 1) = (2; -2).
• 2) BC - BA:
• BC = C - B = (-1 - 1; 1 - (-1)) = (-2; 2),
• BC - BA = (-2; 2) - (2; -1) = (-4; 3).
• 3) BA + BC:
• BA = (2; -1),
• BA + BC = (2; -1) + (-2; 2) = (0; 1).

3. Найдем значения p для коллинеарных и перпендикулярных векторов:

• Векторы m(2; p) и n(9; -3) коллинеарны, если их координаты пропорциональны:
• 2/9 = p/(-3) => p = -6/9 = -2/3.
• Векторы m и n перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю:
• 2 * 9 + p * (-3) = 0 => 18 - 3p = 0 => p = 6.

4. Найдем косинус угла между векторами b и c:

• Векторы b = 6m - n и c = m + 3n:
• b = 6(2; p) - (9; -3) = (12; 6p) - (9; -3) = (3; 6p + 3),
• c = (2; p) + 3(9; -3) = (2; p) + (27; -9) = (29; p - 9).
• Косинус угла между векторами b и c:
• cos(θ) = (b • c) / (|b| * |c|),

Теперь вы можете подставить значения для p и найти косинус угла между векторами b и c.