Какова задуманная обыкновенная дробь, если знаменатель на единицу больше числителя, и при увеличении числителя в 8 раз и знаменателя на 2, получается дробь, которая при умножении на первоначальную дает 1?

Математика 10 класс Уравнения с дробями обыкновенная дробь числитель знаменатель увеличение дроби математическая задача дробь равная единице Новый

Давайте обозначим числитель дроби буквой x. Тогда, согласно условию задачи, знаменатель будет x + 1, так как он на единицу больше числителя. Таким образом, наша дробь будет выглядеть так:

Дробь: x / (x + 1)

Теперь рассмотрим условия, при которых числитель увеличивается в 8 раз, а знаменатель на 2:

Новая дробь: (8x) / (x + 1 + 2) = (8x) / (x + 3)

Согласно условию задачи, произведение первоначальной дроби и новой дроби равно 1. Это можно записать следующим образом:

Уравнение: (x / (x + 1)) * ((8x) / (x + 3)) = 1

Теперь упростим это уравнение:

Умножим обе стороны уравнения на (x + 1)(x + 3), чтобы избавиться от знаменателей:

(x * 8x) = (x + 1)(x + 3)

Теперь упростим обе части:

Слева у нас будет:

Левая часть: 8x^2

Справа раскроем скобки:

(x + 1)(x + 3) = x^2 + 3x + x + 3 = x^2 + 4x + 3

Теперь у нас есть следующее уравнение:

8x^2 = x^2 + 4x + 3

Переносим все на одну сторону уравнения:

8x^2 - x^2 - 4x - 3 = 0

Упрощаем:

7x^2 - 4x - 3 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

Дискриминант: D = b^2 - 4ac, где a = 7, b = -4, c = -3.

D = (-4)^2 - 4 * 7 * (-3) = 16 + 84 = 100

Теперь находим корни уравнения:

x1,2 = (-b ± √D) / (2a)

x1,2 = (4 ± √100) / (2 * 7)

x1,2 = (4 ± 10) / 14

Теперь вычислим корни:

• x1 = (4 + 10) / 14 = 14 / 14 = 1
• x2 = (4 - 10) / 14 = -6 / 14 = -3/7

Поскольку мы ищем обыкновенную дробь, и числитель не может быть отрицательным, оставляем только положительное значение:

Числитель: x = 1

Знаменатель: x + 1 = 1 + 1 = 2

Таким образом, задуманная обыкновенная дробь:

Ответ: 1 / 2