Чтобы найти остаток от деления 2 в степени 100 на 7, 11 и 13, мы можем использовать метод, называемый "малой теоремой Ферма". Этот метод позволяет нам упростить вычисления, особенно когда мы имеем дело с большими степенями.

Шаг 1: Применение малой теоремы Ферма

Согласно малой теореме Ферма, если p — простое число, а a — целое число, не кратное p, то:

a^(p-1) ≡ 1 (mod p)

Эту теорему мы будем использовать для каждого из простых делителей: 7, 11 и 13.

Шаг 2: Деление на 7

• Для p = 7, a = 2:
• 2^(7-1) = 2^6 ≡ 1 (mod 7)
• Теперь нам нужно найти 100 по модулю 6 (поскольку 6 = 7 - 1):
• 100 mod 6 = 4 (потому что 100 = 16 * 6 + 4).
• Теперь мы можем вычислить 2^100 mod 7:
• 2^100 ≡ 2^4 (mod 7).
• 2^4 = 16. Теперь находим 16 mod 7:
• 16 = 2 * 7 + 2, значит, 16 mod 7 = 2.

Шаг 3: Деление на 11

• Для p = 11, a = 2:
• 2^(11-1) = 2^10 ≡ 1 (mod 11).
• Теперь находим 100 mod 10:
• 100 mod 10 = 0 (поскольку 100 делится на 10).
• Следовательно, 2^100 ≡ 2^0 (mod 11).
• 2^0 = 1.

Шаг 4: Деление на 13

• Для p = 13, a = 2:
• 2^(13-1) = 2^12 ≡ 1 (mod 13).
• Теперь находим 100 mod 12:
• 100 mod 12 = 4 (поскольку 100 = 8 * 12 + 4).
• Следовательно, 2^100 ≡ 2^4 (mod 13).
• 2^4 = 16. Теперь находим 16 mod 13:
• 16 = 1 * 13 + 3, значит, 16 mod 13 = 3.

Итак, подводя итоги:

• Остаток при делении 2^100 на 7: 2.
• Остаток при делении 2^100 на 11: 1.
• Остаток при делении 2^100 на 13: 3.

Таким образом, остатки от деления 2 в степени 100 на 7, 11 и 13 равны 2, 1 и 3 соответственно.