Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

У нас есть куб, на гранях которого написаны числа. Известно, что:

• Три числа на гранях куба известны: 6, 10 и 21.
• Три числа на оставшихся гранях являются простыми.
• Суммы чисел на противоположных гранях равны.

Сначала найдем сумму известных чисел:

• 6 + 10 + 21 = 37.

Пусть числа на противоположных гранях, которые мы не знаем, будут обозначены как a, b и c. Поскольку суммы чисел на противоположных гранях равны, мы можем записать:

• 6 + a = 10 + b = 21 + c.

Обозначим эту общую сумму как S. Тогда у нас есть три уравнения:

• 6 + a = S, следовательно, a = S - 6;
• 10 + b = S, следовательно, b = S - 10;
• 21 + c = S, следовательно, c = S - 21.

Теперь у нас есть выражения для a, b и c. Поскольку a, b и c должны быть простыми числами, нам нужно найти такие значения S, чтобы все три выражения давали простые числа.

Также заметим, что:

• Сравнив два уравнения, мы можем записать: S - 6 = S - 10 + 4, что дает нам b = a + 4.
• Сравнив другое уравнение: S - 10 = S - 21 + 11, что дает c = b + 11.

Теперь подставим b и c в зависимости от a:

• b = a + 4;
• c = (a + 4) + 11 = a + 15.

Теперь мы можем выразить S через a:

• S = a + 6.

Теперь подставим S в выражения для b и c:

• b = (a + 6) - 10 = a - 4;
• c = (a + 6) - 21 = a - 15.

Теперь у нас есть:

• a = a;
• b = a - 4;
• c = a - 15.

Теперь, чтобы a, b и c были простыми, a должно быть больше 15, чтобы b и c оставались положительными. Поскольку b и c тоже должны быть простыми, давайте попробуем подставить значения для a, начиная с 17, так как 17 - первое простое число больше 15:

• Если a = 17, тогда b = 13 (простое),c = 2 (простое).

Теперь проверим, подходит ли S:

• S = 17 + 6 = 23.

Теперь можем найти сумму всех чисел на кубе:

• Сумма = 6 + 10 + 21 + 17 + 13 + 2 = 69.

Таким образом, сумма всех чисел на кубе равна 69.