На столе лежали три кучки грецких орехов. Если из первой кучки перелить половину орехов во вторую, из второй половину в третью, а из третьей половину в первую, то в итоге получится 25 орехов в первой кучке, 16 во второй и 11 в третьей. Сколько орехов было в каждой кучке изначально?

Математика 10 класс Системы уравнений математика 10 класс задача на орехи система уравнений решение задач количество орехов начальное количество орехов логическая задача математическая задача Новый

Давайте обозначим количество орехов в первой кучке как x, во второй как y, а в третьей как z. Нам нужно составить систему уравнений на основе условий задачи.

Сначала запишем, что происходит при переливании орехов:

1. Из первой кучки переливаем половину, то есть x/2, во вторую. После этого в первой кучке останется x/2, а во второй станет y + x/2.
2. Из второй кучки переливаем половину во третью, то есть (y + x/2)/2. После этого во второй кучке останется (y + x/2)/2, а в третьей станет z + (y + x/2)/2.
3. Из третьей кучки переливаем половину в первую, то есть (z + (y + x/2)/2)/2. В итоге в первой кучке будет x/2 + (z + (y + x/2)/2)/2, во второй (y + x/2)/2, а в третьей z + (y + x/2)/2 - (z + (y + x/2)/2)/2.

Теперь у нас есть конечные значения:

• Первая кучка: x/2 + (z + (y + x/2)/2)/2 = 25
• Вторая кучка: (y + x/2)/2 = 16
• Третья кучка: z + (y + x/2)/2 - (z + (y + x/2)/2)/2 = 11

Теперь давайте упростим и решим эти уравнения:

1. Из второго уравнения: (y + x/2)/2 = 16 => y + x/2 = 32 => y = 32 - x/2.
2. Подставим y в первое уравнение:
• x/2 + (z + (32 - x/2)/2)/2 = 25
• Упростим это: x/2 + (z + 16 - x/4)/2 = 25
• Умножим всё на 2: x + z + 16 - x/4 = 50
• Переносим всё в одну сторону: 4x + 4z + 64 - x = 200
• Получаем: 3x + 4z = 136 (уравнение 1).
3. Теперь подставим y в третье уравнение:
• z + (32 - x/2)/2 - (z + (32 - x/2)/2)/2 = 11
• Упрощаем: z + 16 - x/4 - (z + 16 - x/4)/2 = 11
• Умножим всё на 2: 2z + 32 - x/2 - z - 16 + x/4 = 22
• Получаем: z + 16 - x/2 + x/4 = 22
• Переносим: z - x/2 + x/4 = 6 (уравнение 2).

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. 3x + 4z = 136
2. z - x/2 + x/4 = 6

Решим эту систему. Из второго уравнения выразим z:

• z = 6 + x/2 - x/4 = 6 + x/4.

Теперь подставим z в первое уравнение:

• 3x + 4(6 + x/4) = 136
• 3x + 24 + x = 136
• 4x + 24 = 136
• 4x = 112
• x = 28.

Теперь подставим x в выражение для y:

• y = 32 - 28/2 = 32 - 14 = 18.

И подставим x в выражение для z:

• z = 6 + 28/4 = 6 + 7 = 13.

Таким образом, изначально в кучках было:

• Первая кучка: 28 орехов
• Вторая кучка: 18 орехов
• Третья кучка: 13 орехов