Решение:

1. Пусть $S$ — вершина пирамиды, $ABC$ — её основание, а $SO$ — высота пирамиды. Тогда $SO \perp ABC$.

2. Проведём высоту $BH$ треугольника $ABC$. Так как треугольник $ABC$ равносторонний, то $BH = a\sqrt{3} / 2$, где $a$ — длина стороны основания пирамиды.

3. Так как $SO \perp ABC$, то по теореме о трёх перпендикулярах $SH \perp BC$. Значит, угол $SHO$ является линейным углом двугранного угла между боковой гранью пирамиды и плоскостью основания. Аналогично угол $SKO$ также является линейным углом этого двугранного угла.

4. Треугольники $SOH$ и $SOK$ равны по катету и противолежащему углу ($SO$ — общий катет, $\angle SHO = \angle SKO = \alpha$). Значит, $OH = OK$.

5. Так как пирамида правильная, то точка $O$ — центр треугольника $ABC$, а значит, $OH$ — средняя линия треугольника $AMB$. Следовательно, $OH = AM / 2 = a \sqrt{3}/4$.

6. Из прямоугольного треугольника $SOH$ получаем: $h = OH \cdot tg \alpha = a \sqrt{3}\cdot tg\alpha / 4$. Тогда площадь боковой грани $S_{AB}$ равна:

$S_{AB} = b \cdot h / 2 = (a \sqrt{3})^{2} \cdot tg \alpha / (8 \cdot sin \alpha)$.

7. Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей боковых граней:

$S{бок} = S{AB} + S{BC} + S{AC} = 3 \cdot S_{AB}$.

Ответ: $V = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot \tg \alpha$.

Объяснение:

В основе решения лежит использование свойств правильной пирамиды и теоремы о трёх перпендикулярах. Мы используем тот факт, что одна из боковых граней пирамиды перпендикулярна основанию, чтобы определить высоту пирамиды. Затем мы используем равенство углов наклона боковых граней к плоскости основания, чтобы показать, что площади боковых граней равны. Это позволяет нам вычислить объём пирамиды как сумму объёмов треугольных пирамид с общей высотой.