Почему, если одно подмножество множества эквивалентно другому множеству, а подмножество этого другого множества эквивалентно исходному множеству, то эти два множества эквивалентны? Эквивалентные множества - это такие множества, между элементами которых можно установить взаимно однозначное соответствие.

Математика 10 класс Теория множеств эквивалентные множества подмножества взаимно однозначное соответствие свойства множеств теория множеств Новый

Давайте разберем, что такое эквивалентные множества и как мы можем доказать, что если одно подмножество множества эквивалентно другому множеству, а подмножество этого другого множества эквивалентно исходному множеству, то эти два множества эквивалентны.

Определение эквивалентных множеств: Два множества A и B называются эквивалентными, если существует взаимно однозначное соответствие между их элементами. Это означает, что можно установить биекцию (взаимно однозначное соответствие) между элементами A и элементами B.

Теперь рассмотрим два множества A и B, а также подмножество C множества B, которое эквивалентно множеству A. Обозначим это как:

• A эквивалентно C (A ~ C)
• C эквивалентно B (C ~ B)

Теперь мы хотим доказать, что A эквивалентно B (A ~ B).

Шаги доказательства:

1. Поскольку A эквивалентно C, существует биекция f: A → C. Это значит, что каждому элементу из A сопоставляется уникальный элемент из C и наоборот.
2. Также, поскольку C эквивалентно B, существует биекция g: C → B. Это значит, что каждому элементу из C сопоставляется уникальный элемент из B и наоборот.
3. Теперь мы можем объединить эти две биекции. Мы можем создать новую функцию h: A → B, которая будет определяться следующим образом: для любого элемента a из A, h(a) = g(f(a)).
4. Таким образом, h отображает элементы A в элементы B. Теперь нужно показать, что h является биекцией.
5. Для этого докажем, что h инъективна (однозначно сопоставляет элементы) и сюръективна (покрывает все элементы B).
• Инъективность: Пусть h(a1) = h(a2) для a1, a2 из A. Это означает, что g(f(a1)) = g(f(a2)). Поскольку g - биекция, f(a1) = f(a2). А так как f - биекция, a1 = a2. Это доказывает инъективность.
• Сюръективность: Пусть b ∈ B. Поскольку g - биекция, существует c ∈ C такое, что g(c) = b. Поскольку f - биекция, существует a ∈ A такое, что f(a) = c. Таким образом, h(a) = g(f(a)) = g(c) = b. Это доказывает сюръективность.

Таким образом, мы доказали, что h является биекцией, а значит, A эквивалентно B.

В заключение, мы показали, что если одно подмножество множества эквивалентно другому множеству, а подмножество этого другого множества эквивалентно исходному множеству, то эти два множества эквивалентны. Это свойство эквивалентности является важным в теории множеств и помогает нам лучше понимать взаимосвязи между различными множествами.