В районной математической олимпиаде участвовали 75 учащихся десятых классов. Им было предложено решить задачу по алгебре, задачу по геометрии и арифметический пример. С арифметическим примером справились 51 человек, задачу по геометрии решили 35, по алгебре - 40. 61 ученик выполнил задания по арифметике или алгебре, 60 - по арифметике или геометрии, 53 - по алгебре или геометрии, а 7 десятиклассников не выполнили правильно ни одного задания. Сколько участников олимпиады выполнили все три задания?

Математика 10 класс Теория множеств математика 10 класс олимпиада по математике задачи по алгебре задачи по геометрии арифметические примеры количество участников решение задач пересечение множеств логические задачи статистика участников Новый

Чтобы решить эту задачу, нам нужно использовать принцип включения-исключения. Давайте обозначим:

• A - количество учащихся, которые решили задачу по алгебре;
• B - количество учащихся, которые решили задачу по геометрии;
• C - количество учащихся, которые решили арифметический пример;
• N - общее количество учащихся, участвовавших в олимпиаде;
• x - количество учащихся, которые решили все три задания.

Даны следующие данные:

• A = 40;
• B = 35;
• C = 51;
• N = 75;
• 61 - количество учащихся, которые выполнили задания по арифметике или алгебре;
• 60 - количество учащихся, которые выполнили задания по арифметике или геометрии;
• 53 - количество учащихся, которые выполнили задания по алгебре или геометрии;
• 7 - количество учащихся, которые не выполнили ни одного задания.

Сначала найдем количество учащихся, которые выполнили хотя бы одно задание:

К ним относятся все учащиеся минус те, кто не выполнил ни одного задания:

N - 7 = 75 - 7 = 68.

Теперь мы можем записать уравнение по принципу включения-исключения для трех множеств:

Количество учащихся, которые выполнили хотя бы одно задание:

N(A ∪ B ∪ C) = N(A) + N(B) + N(C) - N(A ∩ B) - N(A ∩ C) - N(B ∩ C) + N(A ∩ B ∩ C).

Подставим известные значения:

68 = 40 + 35 + 51 - N(A ∩ B) - N(A ∩ C) - N(B ∩ C) + x.

Теперь нам нужно выразить пересечения:

Мы знаем:

• N(A ∪ C) = 61;
• N(B ∪ C) = 60;
• N(A ∪ B) = 53.

Используя принцип включения-исключения для двух множеств, мы можем записать:

• N(A ∪ C) = N(A) + N(C) - N(A ∩ C) => 61 = 40 + 51 - N(A ∩ C) => N(A ∩ C) = 40 + 51 - 61 = 30;
• N(B ∪ C) = N(B) + N(C) - N(B ∩ C) => 60 = 35 + 51 - N(B ∩ C) => N(B ∩ C) = 35 + 51 - 60 = 26;
• N(A ∪ B) = N(A) + N(B) - N(A ∩ B) => 53 = 40 + 35 - N(A ∩ B) => N(A ∩ B) = 40 + 35 - 53 = 22.

Теперь подставим все найденные значения в основное уравнение:

68 = 40 + 35 + 51 - 22 - 30 - 26 + x.

Посчитаем:

68 = 126 - 78 + x.

68 = 48 + x.

Теперь решим уравнение для x:

x = 68 - 48 = 20.

Таким образом, количество участников олимпиады, которые выполнили все три задания, равно 20.