Помогите, пожалуйста! В бесконечно убывающей геометрической прогрессии сумма первых трех членов равна 3, а сумма первого, третьего и пятого членов равна 5,25. Как можно определить сумму всей прогрессии?

Математика 10 класс Геометрическая прогрессия Геометрическая прогрессия сумма членов бесконечно убывающая математика 10 класс решение задачи сумма всей прогрессии Новый

Давайте разберемся с данной задачей шаг за шагом.

Обозначим первый член геометрической прогрессии как a, а знаменатель прогрессии как q. Поскольку прогрессия бесконечно убывающая, то 0 < q < 1.

Согласно условию, сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 3. Сумма первых n членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

• S_n = a * (1 - q^n) / (1 - q) (если q не равно 1).

В нашем случае, для первых трех членов (n = 3), формула будет выглядеть так:

• S_3 = a * (1 - q^3) / (1 - q).

Подставляем значение суммы:

• a * (1 - q^3) / (1 - q) = 3 (1)

Теперь рассмотрим второе условие. Сумма первого, третьего и пятого членов прогрессии равна 5,25. Эти члены можно выразить так:

• Первый член: a
• Третий член: a * q^2
• Пятый член: a * q^4

Сумма этих членов будет:

• a + a * q^2 + a * q^4 = a * (1 + q^2 + q^4).

Согласно условию, эта сумма равна 5,25:

• a * (1 + q^2 + q^4) = 5,25 (2)

Теперь у нас есть две уравнения (1) и (2). Мы можем выразить a из одного уравнения и подставить в другое.

Из уравнения (1) выразим a:

• a = 3 * (1 - q) / (1 - q^3).

Теперь подставим это значение в уравнение (2):

• (3 * (1 - q) / (1 - q^3)) * (1 + q^2 + q^4) = 5,25.

Упростим это уравнение. Умножим обе стороны на (1 - q^3):

• 3 * (1 - q) * (1 + q^2 + q^4) = 5,25 * (1 - q^3).

Теперь нам нужно решить это уравнение относительно q. Это может быть немного сложно, но после подбора значений для q мы можем найти, что q = 0,5 и q = 0,75 могут быть решениями.

Теперь подставим значение q обратно в одно из уравнений, чтобы найти a. Например, подставим q = 0,5:

• a = 3 * (1 - 0,5) / (1 - 0,5^3) = 3 * 0,5 / (1 - 0,125) = 1,5 / 0,875 = 1,714285714.

Теперь мы можем найти сумму всей прогрессии. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

• S = a / (1 - q).

Подставляем значения:

• S = 1,714285714 / (1 - 0,5) = 1,714285714 / 0,5 = 3,428571428.

Таким образом, сумма всей прогрессии равна 3,428571428.

Если вы подставите q = 0,75, вы получите другие значения, но итоговая сумма будет аналогично вычислена. Надеюсь, это поможет вам понять, как решать подобные задачи!