Давайте решим уравнение: log2(x+1) + log2(x+3) = 3.

Первым шагом мы используем свойство логарифмов, которое гласит, что сумма логарифмов равна логарифму произведения. То есть:

• log2(a) + log2(b) = log2(a * b)

Применим это свойство к нашему уравнению:

log2((x + 1)(x + 3)) = 3.

Теперь мы можем избавиться от логарифма, воспользовавшись определением логарифма. Если log2(y) = 3, то y = 2^3. В нашем случае это означает:

(x + 1)(x + 3) = 2^3.

Так как 2^3 = 8, мы можем записать:

(x + 1)(x + 3) = 8.

Теперь раскроем скобки:

x^2 + 3x + x + 3 = 8.

Соберем все члены в одну сторону уравнения:

x^2 + 4x + 3 - 8 = 0.

Это упрощается до:

x^2 + 4x - 5 = 0.

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Мы можем использовать формулу корней квадратного уравнения:

• x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a,

где a = 1, b = 4 и c = -5.

Сначала найдем дискриминант:

D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36.

Теперь подставим значения в формулу:

x = (-4 ± √36) / (2 * 1).

√36 = 6, поэтому у нас есть два корня:

• x1 = (-4 + 6) / 2 = 2 / 2 = 1,
• x2 = (-4 - 6) / 2 = -10 / 2 = -5.

Теперь у нас есть два возможных решения: x = 1 и x = -5. Однако мы должны проверить, подходят ли эти значения к исходному логарифмическому уравнению, так как логарифм не может быть отрицательным.

Проверим x = 1:

log2(1 + 1) + log2(1 + 3) = log2(2) + log2(4) = 1 + 2 = 3. Это решение подходит.

Теперь проверим x = -5:

log2(-5 + 1) + log2(-5 + 3) = log2(-4) + log2(-2). Поскольку логарифм отрицательного числа не определен, это решение не подходит.

Таким образом, единственным решением уравнения является:

x = 1.