Решите следующую задачу.

В треугольнике ABC угол C составляет 90°, длина отрезка BC равна 5√65/9, а синус угла B равен 4/9. Какова длина отрезка AB?

Математика 10 класс Треугольники и тригонометрия треугольник ABC угол C 90 градусов длина отрезка BC синус угла B длина отрезка AB задача по математике Новый

Для решения данной задачи будем использовать свойства прямоугольного треугольника и тригонометрические функции.

Дано:

• Треугольник ABC, угол C = 90°.
• Длина отрезка BC = 5√65/9.
• Синус угла B = 4/9.

Необходимо найти длину отрезка AB.

В прямоугольном треугольнике синус угла B определяется как отношение противолежащего катета (в данном случае катет AC) к гипотенузе (отрезок AB). Таким образом, мы можем записать следующее уравнение:

sin(B) = AC / AB.

Подставим известное значение синуса:

4/9 = AC / AB.

Из этого уравнения выразим катет AC:

AC = (4/9) * AB.

Теперь применим теорему Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

AB² = AC² + BC².

Подставим известные значения:

AB² = ((4/9) * AB)² + (5√65/9)².

Теперь вычислим каждую часть:

• AC² = (4/9)² * AB² = 16/81 * AB².
• BC² = (5√65/9)² = 25 * 65 / 81 = 1625/81.

Подставим эти значения в уравнение:

AB² = (16/81) * AB² + (1625/81).

Теперь умножим все уравнение на 81, чтобы избавиться от знаменателей:

81 * AB² = 16 * AB² + 1625.

Упрощаем уравнение:

81AB² - 16AB² = 1625.

Это дает:

65AB² = 1625.

Теперь выразим AB²:

AB² = 1625 / 65 = 25.

Теперь найдем AB:

AB = √25 = 5.

Ответ: Длина отрезка AB составляет 5 единиц.